Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Та запись комплексного числа, которую мы использовали до сих пор, называется алгебраической формой записи комплексного числа. Часто бывает удобна немного другая форма записи комплексного числа. Пусть и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

Отсюда получается

z = a + bi = r (cos φ + i sin φ).

Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.

27. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy - мнимой.

Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число

называется модулем комплексного числа z и обозначается символом | z |.

Число

называем аргументом комплексного числа z и обозначаем символом θ = arg z. При заданном r углы, отличающиеся на , соответствуют одному и тому же числу. В этом случае записываем называем главным значением аргумента.

Числа r и θ называют полярными координатами комплексного числа z. В этом случае

z = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) = r (cos θ + i sin θ)

называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если z ₁ = (r ₁ cos θ ₁, r ₁ sin θ ₁), z ₂ = (r ₂ cos θ ₂, r ₂ sin θ ₂), то

z ₁ z ₂ = (r ₁ r ₂ cos(θ ₁ + θ ₂), r ₁ r ₂ sin(θ ₁ + θ ₂)),

Для n -й степени числа z = (r cos θ, r sin θ) формула приобретает вид zⁿ = (rⁿ cos nθ, rⁿ sin nθ).

При r = 1 соотношение приобретает вид zⁿ = (cos nθ, sin nθ) и называется формулой Муавра.

Корень n -й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле

(1)

Дата добавления: 2015-04-24