Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Функциональные ряды




Читайте также:
  1. II. Функциональные причины поражения клапанов сердца
  2. Анатомические, функциональные, сопутствующие
  3. Билет№26. Императивные, функциональные и логические языки программирования.
  4. Виды взаимосвязей между явлениями (функциональные и корреляционные)
  5. Вопрос 2. Исторические типы мировоззрения, их содержательное и функциональные особенности.
  6. Дисфункциональные последствия
  7. ЕЕРС - событийно-функциональные диаграммы
  8. Железистый эпителий. Морфофункциональные особенности секреторных эпителиоцитов. Секреторный цикл. Типы секреции.
  9. Информационные технологии (ИТ), базы данных, функциональные подсистемы (ФП). Примеры взаимодействия.
  10. Какие функциональные слои различают в составе
  11. Ключевые понятия: структурные элементы, функциональные элементы, суперсистема, интерфейс, ожидаемый результат, входы, выходы, обратные связи.
  12. Кожа. Источники развития, строение, функции, регенерация. Структурно-функциональные особенности кожи в различных участках тела.

Формально записанное выражение

(25)

где - последовательность функций от независимой переменной x, называется функциональным рядом.

Примерами функциональных рядов могут служить:

(26)

(27)

Придавая независимой переменной xнекоторое значение и подставляя его в функциональный ряд (25), получим числовой ряд

Если он сходится, то говорят, что функциональный ряд (25) сходится при ; если он расходится, что говорят, что ряд (25) расходится при .

41. Степенные ряды Определение

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x0), то есть ряд вида

где x0 − действительное число.

Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.

Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называетсярадиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.
Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

42. Дифференциальные уравнения 1. Основные понятия

Определение. Уравнение вида
F(x,y,y',y'',…,y(n)) = 0, (*)
связывающее аргумент х, функцию у(х) и ее производные, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция у = φ(х, С12,…,Сn), которая зависит от аргумента х и nнезависимых произвольных постоянных С1, С2, …, Сn, обращающая вместе со своими производными у', у'',…, у(n) уравнение (*) в тождество.
Определение. Частным решением уравнения (*) называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным С1, С2, …, Сnопределенные числовые значения.

Уравнения с разделяющимися переменными

 

Самым простым примером уравнения первого порядка является уравнение с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение , допускающее запись в виде

,

а также уравнение в дифференциалах, которое можно записать в форме

называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Предполагается, что функция определена и непрерывна на отрезке , а функция определена и непрерывна на отрезке . Для решения такого уравнения надо обе его части умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только в другую – только , а затем проинтегрировать обе части.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее и могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.



 

43. 2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Уравнение вида y'+ρ(x)y=f(x), где ρ(x) и f(x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Пример. Найти общее решение уравнения y'+3y=e2x и частное решение,удовлетворяющее начальным условиям х=0, у=1.
Решение. Данное уравне

ние является линейным.
Здесь ρ(x)=3 и f(x)=e2x.
Решение ищем в виде y=U∙υ, где U и υ – некоторые функции от х. Находим y'= U'υ+ Uυ' и подставляем в уравнение значение y и y', получаем: U'υ+Uυ'+3Uυ=e2x или U'υ+U'+3υ)= e2x.
Найдем одно значение υ, при котором выражение в скобках, обращается в нуль: υ'+3υ=0. Получим уравнение с разделяющимися переменными. Решая его получаем: ln υ =–3x,υ=e–3x.
Подставляем найденное значение υ в исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
.
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:
.
Найдем частное решение. Для этого подставим начальные условия в выражение для общего решения и найдем С.
.
Частное решение имеет вид: .





Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 65; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:

  1. II. Функциональные причины поражения клапанов сердца
  2. Анатомические, функциональные, сопутствующие
  3. Билет№26. Императивные, функциональные и логические языки программирования.
  4. Виды взаимосвязей между явлениями (функциональные и корреляционные)
  5. Вопрос 2. Исторические типы мировоззрения, их содержательное и функциональные особенности.
  6. Дисфункциональные последствия
  7. ЕЕРС - событийно-функциональные диаграммы
  8. Железистый эпителий. Морфофункциональные особенности секреторных эпителиоцитов. Секреторный цикл. Типы секреции.
  9. Информационные технологии (ИТ), базы данных, функциональные подсистемы (ФП). Примеры взаимодействия.
  10. Какие функциональные слои различают в составе
  11. Ключевые понятия: структурные элементы, функциональные элементы, суперсистема, интерфейс, ожидаемый результат, входы, выходы, обратные связи.
  12. Кожа. Источники развития, строение, функции, регенерация. Структурно-функциональные особенности кожи в различных участках тела.




studopedia.su - Студопедия (2013 - 2018) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.82.94.86
Генерация страницы за: 0.005 сек.