I числовые ряды

Признак сравнения

1) Если , начиная с некоторого и ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится, а если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

В качестве рядов для сравнения удобно рассматривать:

а) геометрическую прогрессию , , сходящуюся при и расходящуюся при ;

б) гармонический ряд , который расходится;

в) ряд Дирихле , сходящийся при и расходящийся, при p<1 (что доказывается с помощью интегрального признака Коши).

2) Если существует конечный и отличный от нуля предел (в частности, , то ряды (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

Так как данный n-й член ряда имеет вид ln(1+ ), где - бесконечно малая величина при n , и известно, что ln(1  , то этот ряд сравниваем с рядом

, представляющим собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q=1/7<1, которая сходится, следовательно, и исходный ряд сходится.

Пример 2. Исследовать ряд .

n-й член данного ряда: ~ , т.е. при n ведет себя как гармонический, следовательно, ряд также расходится.

Часто, прежде чем использовать какой-либо из достаточных признаков сходимости ряда, необходимо использовать понятие эквивалентных бесконечно малых величин при и обязательно проверить необходимые условия сходимости исследуемого ряда.

Дата добавления: 2015-04-24