Закон сохранения импульса 2 страница

, (5.4)

Для движущегося наблюдателя время идёт медленнее.
5. Сокращение длин

Если в системе находится отрезок , то это же расстояние для движущегося наблюдателя в системе окажется равным:

Так как наблюдатель видит в своей системе оба конца одновременно , то из формул обратного преобразования Лоренца (5.3) получим , откуда следует, что:

, (5.5)

Для движущегося наблюдателя длина отрезка кажется уменьшенной в направлении движения раз, т.е. движущемуся наблюдателю шар кажется сплющенным эллипсоидом.
6. Сложение скоростей в теории относительности.
Пусть некоторая точка М движется относительно системы вдоль оси со скоростью . Скорость её относительно неподвижной системы будет:

, (5.6)

Координата этой точки определится из формул (5.3):

, откуда , (5.7)

Аналогично определяем :

, (5.8)

Подставляя (5.7) и (5.8) в (5.6) и учитывая, что , получаем:

, (5.9)

Эта формула выражает релятивистский закон сложения ско­ростей. Сравнивая (5.9) с (5.2), видно, что при малых скорос­тях теорема сложения скоростей Галилея остаётся вер­ной. Из формулы (5.9) следует предельный характер скорости света. Действительно, если относительно послать световой импульс со скоростью , то относительно получим:

,

т.е. в системе скорость светового импульса тоже равна . Найдем другие составляющие скорости и .

Так как , то:

, (5.10)

Из формулы (5.3) находим:

Подставляя это в (5.10), получим:

(5.11)
7. Изменение массы со скоростью
В классической механике основной закон динамики имеет вид:

или при

Из этой формулы следует, что при действии постоянной силы скорость может возрастать неограниченно:

при

Этот результат противоречит теории относительности. Поэ­тому, естественно, сделать предположений, что масса как ме­ра инертности должна зависеть от скорости: , так что при , т.к. при этой скорость тела будет ограниче­на.

Из преобразований Лоренца вытекает, что масса, определя­емая как , является переменной, зависящей от скорости. Эта зависимость дается выражением:

, (6.1)

где - масса покоя, т.е. в той С.О. где тело покоится, называют релятивистской массой.

Эта формула имеет очень большое значение и постоянно ис­пользуется в атомной физика, где частицы двигаются со скорос­тями 1111 . Она была проверена экспериментально.

Таким образом, в С.Т.О. основной закон динамики приобре­тает вид:

(6.2) или (6.3)
8. Движение релятивистской частицы

Найдем закон движения релятивистской частицы, движущейся под действием постоянной силы , которая в начальный момент покоилась.

Из формулы (6.2) находим:

откуда , (6.4)

где при малых , и как и в классической механике; при , и

Путь, пройденный телом, будет равен , вычисления дают: (6.5)

при малых используя формулу , получаем:

как в классической механике.
9. Связь между массой и энергией
Энергия движущегося тела вызывается работой силы действующей на него, следовательно:

или (6.6)

Из формулы (6.1) получаем:

и

Подставляя эти выражения в (б.6), получаем:

, откуда

После интегрирования . Полагая , получим энергию покоя тела

(6.7) и энергию движущегося тела (6.8)

Из формул (6.7) и (6.6) следует, что между массой и энергией существует неразрывная связь:

(6.9)

Всякая масса связана с определенным количеством энер­гии .

В состоянии покоя с массой связана энергия покоя:

С другой стороны, с энергией связана определенная масса:

Изменение энергии влечет одновременно и изменение массы наоборот:

Фундаментальное соотношение (6.9) было впервые установлено Эйнштейном.
10. Кинетическая энергия. Энергия и импульс
Кинетическая энергия равна разности и :

(6.10)

При малых скоростях ( ) и из формулы (6.10).получаем:

,

т.е. получим выражение для кинетической энергии в классичес­кой механике.

Исключив ив выражений и , находим соотноше­ние между импульсом и энергией:

, откуда (6.10)

Для частицы с массой покоя (фотон) имеем:

http://ua.coolreferat.com/%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D1%8B_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C=3

7) Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции

Как известно, законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсчета, которые движутся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинерциальными. В неинерциальных системах законы Ньютона, вообще говоря, уже применять нельзя. Однако законы динамики можно применять и для них, если кроме сил, которые обусловленны воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение понятие силы особого рода - так называемую силу инерции.

При учете сил инерции второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (учитывая и силы инерции). При этом силы инерции F _in должны быть такими, чтобы вместе с силами F, обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение а', каким оно обладает в неинерциальных системах отсчета, т. е.

(1)

Так как F =m a (a - ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то

Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы, поэтому в общем случае следует учитывать следующие случаи возниконовения этих сил: 1) силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета; 2) силы инерции, которые действуют на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета; 3) силы инерции, которые действуют на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.
Рассмотрим эти случаи.

1. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета. На тележке к штативу на нити подвешен шарик массой m (рис. 1). Пока тележка покоится или движется прямолинейно и равномерно, нить, которая удерживает шарик, занимает вертикальное положение и сила тяжести Р уравновешивается силой реакции (натяжения) нити Т.

Рис.1

Если тележку привести в поступательное движение с ускорением а ₀, то нить будет отклоняться от вертикали в сторону, обратную движению, до такого угла α, пока результирующая сила F = P + T не даст ускорение шарика, равное а ₀. Значит, результирующая сила F направлена в сторону ускорения тележки а ₀ и для установившегося движения шарика (теперь шарик движется вместе с тележкой с ускорением а ₀) равна F=mgtgα=ma₀, откуда

т. е. угол отклонения нити от вертикали тем больше, чем больше ускорение тележки.

В системе отсчета, которая связана с ускоренно движущейся тележкой, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой F _in, которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие другие силы не действуют. Таким образом,

(2)

Проявление сил инерции при поступательном движении мы можем видеть в повседневных явлениях. Если поезд набирает скорость, то пассажир, сидящий при этом по ходу поезда, прижимается к спинке сиденья под действием силы инерции. Наоборот, при торможении поезда пассажир отклоняется от спинки сиденья, т.к. сила инерции направлена в противоположную сторону. Особенно силы инерции заметны при внезапном торможении поезда. Эти силы проявляются в перегрузках, возникающие при запуске и торможении космических кораблей.

2. Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета. Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью ω (ω=const) вокруг перпендикулярной ему оси, которая проходит через его центр. На диске установлены маятники, на разных расстояниях от оси вращения и на нитях висят шарики массой m. Когда диск начнет вращаться, шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол (рис. 2).

Рис.2

В инерциальной системе отсчета, которая связана, например, с помещением, где установлен диск, происходит равномерное вращение шарика по окружности радиусом R (расстояние от центра вращающегося шарика до оси вращения). Значит, на него действует сила, равная F=mω²R и которая направлена перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействующей силы тяжести Р и силы реакции (натяжения) нити Т: F = P + T. Когда движение шарика установится, то F=mgtgα=mω²R, откуда

т. е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше угловая скорость вращения &omega и чем больше расстояние R от центра шарика до оси вращения диска;.

Относительно системы отсчета, которая связана с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой F_с, являющаяся ничем иным, как силой инерции, так как никакие другие силы на шарик не действуют. Сила F _c, называемая центробежной силой инерции, направлена по горизонтали от оси вращения диска и равна

(3)

На практике действие центробежных сил инерции испытывают, например, пассажиры в движущемся автобусе на поворотах, летчики при выполнении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции используются во всех центробежных механизмах: насосах, сепараторах и т. д., где они достигают очень больших значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (винтов самолетов, роторов и т. д.) используются специальные механизмы для уравновешивания центробежных сил инерции.

Из формулы (3) следует, что центробежная сила инерции, которая действует на тела во вращающихся системах отсчета и которая направлена в сторону радиуса от оси вращения, зависит от угловой скорости вращения ω системы отсчета и радиуса R, но при этом не зависит от скорости тела относительно вращающихся систем отсчета. Значит, центробежная сила инерции действует во вращающихся системах отсчета на все тела, которые удалены от оси вращения на конечное расстояние, при этом не имеет значения, покоятся ли они в этой системе отсчета (как мы предполагали до сих пор) или движутся относительно нее с некоторой скоростью.

3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета. Пусть шарик массой m движется с постоянной скоростью ν' вдоль радиуса равномерно вращающегося диска (ν'=const, ω=const, ν перпендикулярно ω). Если диск не начал вращаться, то шарик, движется по радиальной прямой и попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении, которое указанно стрелкой, то шарик покатится по кривой OВ (рис. 3а), причем его скорость ν' относительно диска сменит свое направление. Это возможно лишь в случае, если на шарик действует сила, которая перпендикулярна скорости ν'.

Рис.3

Чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиуса, будем использовать жестко укрепленный вдоль радиуса диска стержень, на котором шарик движется без трения прямолинейно равномерно со скоростью ν' (рис. 3б). При отклонении шарика стержень действует на него с некоторой силой F. Во вращающейся системы отсчета, т.е. относительно диска, шарик движется прямолинейно и раномерно, что объясняется тем, что сила F уравновешивается приложенной к шарику силой инерции F _k, которая перпендикулярной скорости ν'. Эта сила называется кориолисовой силой инерции.

Можно показать, что сила Кориолиса

Вектор F _k перпендикулярен векторам скорости v ' тела и угловой скорости вращения системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.

Сила Кориолиса действует только на тела, которые движутся относительно вращающейся системы отсчета, чаще всего рассматривается случай относительно Земли. Действием этих сил объясняется ряд наблюдаемых на Земле явлений. Так, если тело движется в северном полушарии на север (рис. 4), то действующая на него сила Кориолиса, как это следует из выражения (4), будет направлена вправо по отношению к направлению движения, т. е. тело несколько отклонится на восток. Если тело движется на юг, то сила Кориолиса также действует вправо, если смотреть по направлению движения, т. е. тело отклонится на запад. Поэтому в северном полушарии наблюдается более сильное подмывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнашиваются быстрее, чем левые, и т. д. Также можно показать, что в южном полушарии сила Кориолиса, которая действует на движущиеся тела, направлена влево по отношению к направлению движения.

Рис.4

Благодаря действию силы Кориолиса падающие на поверхность Земли предметы отклоняются к востоку (на широте 60° это отклонение должно составлять 1 см при падении с высоты 100 м). С силой Кориолиса связано движение маятника Фуко, которое явилось в свое время одним из доказательств вращения Земли. Если бы силы Кориолиса не было, то тогда плоскость колебаний качающегося вблизи поверхности Земли маятника оставалась бы неизменной (относительно Земли). Действие же данной силы приводит к вращению плоскости колебаний вокруг вертикального направления.

Раскрывая содержание F _in в формуле (1), получим основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:

где силы инерции задаются формулами (2) - (4).

Еще раз подчеркнем, что силы инерции вызываются не взаимодействием тел, а ускоренным движением системы отсчета. По этой причине они не подчиняются третьему закону Ньютона, так как если на тело действует сила инерции, то не существует силы, противодействующей ей и приложенной к данному телу. Два основных положения механики, по которым ускорение всегда вызывается силой, а сила всегда обусловлена взаимодействием между телами, в системах отсчета, движущихся с ускорением, одновременно не выполняются.

Для любого из тел, которые находятся в неинерциальной системе отсчета, силы инерции являются внешними; Значит, здесь нет замкнутых систем, т.е. в неинерциальных системах отсчета не выполняются также и законы сохранения импульса, энергии и момента импульса. Значит, силы инерции действуют только в неинерциальных системах отсчета. В инерциальных системах отсчета таких сил не существует.

Возникает вопрос о реальном или фиктивном существовании сил инерции. В ньютоновской механике, в которой сила является результатом взаимодействия тел, на силы инерции можно смотреть как на не существующие в инерциальных системах отсчета или фиктивные. Однако возможна и другая их интерпретация. Поскольку взаимодействия тел осуществляются посредством силовых полей, то силы инерции рассматриваются как воздействия, которым подвергаются тела со стороны каких-то реальных силовых полей, и тогда их можно считать реальными. Независимо рассмотрения сил инерции в качестве реальных или фиктивных, многие явления, упоминающиеся в настоящем параграфе, объясняются с помощью сил инерции.

Силы инерции, которые действуют на тела в неинерциальной системе отсчета, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях сообщают этим телам одинаковые ускорения. Значит в поле сил инерции эти тела движутся абсолютно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством обладают тела, которые находятся под действием сил поля тяготения.

Возможны условия, при которых силы инерции и силы тяготения невозможно различить. Например, движение тел в равноускоренном лифте происходит точно так же, как и в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести. Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле сил инерции от однородного поля тяготения.

Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности сил инерции и гравитационных сил (принципа эквивалентности Эйнштейна): все физические явления в поле тяготения происходят так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а остальные начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы. Этот принцип является основой общей теории относительности.

8)

Дата добавления: 2015-04-24