Постановка задачі чисельного диференціювання. Чисельне диференц. на основі інтерполяційних формул Лагранжа та Ньютона. Оцінка похибки цих інтерполяційних формул

Інтерполяційний многочлен Ньютона

Нехай ф-цію f(x) задано таблично: x₀ x₁ …. x_n

y₀ y₁ …. y_n

причому вузли інтерпол. є рівновіддалені, тобто x₀, x₀+h, x₀+2h,…, x₀+nh.Потрібно побудувати інтерпол. многочлен P_n(x) так, щоб викон. умови:

y₀=P_n(x₀), y₁=P_n(x₁),…,y_n=P_n(x_n) (1)

Будемо шукати многочлен у вигляді:

(2)

де невідомі коефіцієнти.

Остання ф-ла наз. інтерполюванням вперед, ці ф-ли викор. тоді коли аргумент знаходиться на початку таблиці .

Коли з-ня аргументу знаходиться в кінці таблиці , то першу інтерпол. ф-лу не вигідно використовувати

Ф-ла наз. інтерполяц. назад.

Нехай ф-ю f(x) задано таблично на інтервалі [a,b]. Представимо її у вигляді деякого інтерполяційного многочленна: f(x)=Pn(x)+Rn(x) (1) де Rn(x) – залишковий член. Нехай ф-я Pn(x) - к-раз неперервно продифиренц. ф-я. Тоді ми можемо к-раз продиф. рівність (1):

f′(x)=P_n′(x)+R_n′(x)

f′(x)=P_n″(x)+R_n″(x)

………………

f^k(x)=P_n^k(x)+R_n^k(x)

За чисельне диференц. вибирають формули:

f′(x)=P_n′(x)

f′(x)=P_n″(х)

…………..

f^k(x)=P_n^k(x)

При чому залишковий член r_i(x) (i=1…k) не завжди є малою величиною

r_i(x)= f^і(x)- P_n^і(x).

Нехай ф-я f задана на відрізку [a,b]. Таблично y_i=f(x_i), де x_i рівновіддалені.

Запишемо для ф-ї f першу інтерполяційну формулу Ньютона:

f(x)=P_n(x)=y₀+t∆y₀+ +…+

t= ;

Шукаємо похідну:

f′(x)=

f′(x)= P_n′(x)=

f″(x)= P_n″(x)=

У чисельному диференц. 1-шу інтерполяційну ф. Ньютона викор. якщо шукають похідні f′(x) і f″(x) у т.х, які знаходяться між х₀ і х₁

r1(x)= - залишковий член перш. пох. f′(x) обмеженої в т х0

Нехай ф-я f(x) задана на [a;b], у вузлах x_i (рівновіддалені) своїми значеннями y_i. Представимо ф-ю f(x) у вигляді інтерполяційного многочлена Лагранжа: f(x)=Ln(x) = Якщо вузли рівновіддалені, то зробимо заміну t=

Тоді інтерполяц. многочлен Лагранжа має вигляд:

P(x)=Ln(x₀+ht)=

Продиференціюємо: f′(x)=Ln'(x)=

f^(k)(x)=L_n^(k)(x)=

Залишковий член шукаємо аналогічно, як і для інтерполяційного многочленна Ньютона.

Дата добавления: 2015-05-23