ЛЧХ контура с отрицательной обратной связью

Пример

Пусть задана передаточная функция объекта

.

Требуется построить асимптотическую ЛАЧХ объекта.

1. Выделение элементарных звеньев.

Вынесем множитель из каждой скобки так, чтобы свободный член в этой скобке был равен 1:

.

Корни квадратного трёхчлена в знаменателе комплексно-сопряжённые, поэтому можно представить заданную передаточную функцию в виде произведения передаточного коэффициента и четырёх передаточных функций элементарных звеньев:

,

,
где .

Звенья с передаточными функциями и - идеальные звенья с введением производной, второе из них – неминимально - фазовое. Звено с передаточной функцией - апериодическое звено, а звено с - колебательное, поскольку .

2. Определение сопрягающих частот.

Сопрягающие частоты – это точки излома ЛАЧХ. Они определяются как . Таким образом,

рад/с, рад/с,

рад/с, рад/с.

Поскольку при построении ЛАЧХ на оси абсцисс откладывается lgω, вычислим десятичные логарифмы этих частот:

_{, ,}

_{, .}

3. Построение ЛАЧХ.

Отметим найденные точки излома ЛАЧХ на оси абсцисс:

Поскольку интегрирующие и дифференцирующие звенья в системе отсутствуют, на низких частотах (примерно до первой сопрягающей частоты ) система имеет постоянное усиление, равное k=10. Учитывая, что амплитудная характеристика откладывается в логарифмическом масштабе (в децибеллах) получаем

20lgk=20lg10=20

и можно сразу нарисовать начальный участок ЛАЧХ:

На частоте вступает в действие апериодическое звено, которое даёт наклон -20 дБ/дек, в интервале от до график спускается вниз на

дБ, поэтому ордината для частоты равна дБ:

На частоте идеальное звено с введением производной добавляет наклон +20 дБ/дек, таким образом, общий наклон становится равен нулю:

На частоте неминимально – фазовое идеальное звено с введением производной ещё добавляет наклон +20 дБ/дек, таким образом, общий наклон становится равен +20 дБ/дек. В интервале от до график поднимается на дБ, поэтому ордината для частоты равна 9,6+10,4 20 дБ:

Наконец, на частоте колебательное звено добавляет наклон -40 дБ/дек, таким образом, общий наклон становится равен -20 дБ/дек:

1. Аналитический метод построения ЛЧХ контура с единичной ООС.

отсюда

2. Построение ЛЧХ контура по номограммам замыкания (Никольса).

Пусть амплитудно-фазовая частотная функция замкнутой системы имеет вид

(1) причем ,

Амплитудную и фазовую частотные функции замкнутой системы А_з(w) и q_з(w) можно выразить через А(w) и разомкнутой цепи.

Согласно формуле (1) имеем

или, взяв обратные величины слева и справа, получим новое равенство

Подставим сюда и приравняем затем отдельно вещественные и мнимые части. Получим два равенства

Сложив сначала квадраты этих выражений, а затем поделив одно из них на другое, получим искомый результат

L(w₁)

L₃(w₁)

q₃(w₁)

Чтобы не иметь дело на практике с этими формулами, составлены НОМОГРАММЫ ЗАМЫКАНИЯ.

Отложив на осях абсцисс и ординат заданные значения q(w₁) и L(w₁), находим значения 20lgА_з(w₁) и q(w₁) на поле номограммы в точке с этими координатами. Таким образом по точкам строится вся частотная характеристика замкнутой системы.

Если контур с неединичной ООС, то его следует преобразовать к контуру с единичной ООС.

где W_А(jw)=W_ПК(jw)×W_ОС(jw). Тогда ЛЧХ замкнутой системы строится в два приёма:

вначале строятся ЛЧХ контура с единичной ООС, затем строятся ЛЧХ функции и, наконец, результирующие ЛЧХ системы: и

Алгоритм построения ЛЧХ:

1. Строится ЛЧХ разомкнутой системы по передаточной функции .
2. В выделенном диапазоне частот […] задаются рядом контрольных точек , которым соответствуют и .
3. По номограмме замыкания определяются и соответствующие и .
4. Соединив плавной кривой полученные точки в логарифмической системе координат, строят и .

3. Построение ЛЧХ по преобразованной передаточной функции контура.

Многочлены числителя и знаменателя передаточной функции замкнутого контура или прямых параллельных звеньев преобразовываются к произведению двух - или трёхчленов, затем по методике 1 строятся ЛЧХ.

4. Построение в Matlab.

Дата добавления: 2015-05-09