Определение производной. Пусть функция y=f(х) определена в некоторой окрестности точки х0

Пусть функция y=f(х) определена в некоторой окрестности точки х0. Для любой точки х из этой окрестности приращение Dx определяется формулой Dx=х – х0, откуда х=х0 + Dx.

Приращением функции y=f(x) в точке х0 называется разность

Dу=f(x) – f(x0)=f(x0 + Dx) – f(x0).

Производной от функции у=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента (), когда приращение аргумента стремится к нулю (Dx →0).

Производная функции у=f(x) в точке х0 обозначается y'(х0) или f'(х0). Определение производной можно записать в виде формулы:

'()= = .

Если функция в точке х0 имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой в точке х0. Если она дифференцируема во всех точках промежутка X, то говорят, она дифференцируема на всём этом промежутке.

Конечно, может не существовать. В этом случае говорят, что функция f(x) не имеет производной в точке х0. Если равен или , то говорят, что функция f(x) имеет в точке х0 бесконечную производную (равную или , соответственно).

Как вычисляют производную?

1. Записывают функцию в виде y=f(х).

2. Вычисляют Dy – приращение функции: Dу=f(x+ Dx) – f(x).

3. Составляют отношение

4. Представляют, что Dx стремится к нулю, и переходят к пределу = y'(х0).

5. Вычисляют производную в точке х0: y'(х) = y'(х0).

Дата добавления: 2015-05-10