Постановка задачі. Вважають, що на множині дійсних чисел X визначено деяку дійсну функцію y=f(x), якщо кожному числу x з цієї множини поставлено у відповідність одне дійсне

Вважають, що на множині дійсних чисел X визначено деяку дійсну функцію y = f(x), якщо кожному числу x з цієї множини поставлено у відповідність одне дійсне число y з множини Y. На практиці часто трапляються випадки, коли формула задається складним виразом і знайти значення y для відповідних x досить важко. Крім того, часто аналітичний вираз функції y=f (x)взагалі невідомий, а відомі лише її значення в скінченій кількості точок (функція задана таблично). Ці значення можуть бути знайдені в результаті спостережень чи вимірювань в якому-небудь експерименті, або в результаті обчислень. Тому виникає потреба вихідну функцію y=f(x) наближено замінити (апроксимувати) деякою іншою функцією j(x), в певному розумінні близькою до f(x) і такою, що простіше обчислюється чи досліджується. Тоді при всіх значеннях аргументу з множини X покладають f (x) »j (x). Функцію j(x) називають апроксимуючою. Близькість функцій f (x)і j (x) можна, зокрема, оцінювати в метричних просторах за допомогою відстані. По-різному вводячи відстань, дістають різні конкретні випадки задачі апроксимації.

Часто апроксимуючу функцію j(x) беруть у вигляді лінійної комбінації функцій деякого класу, які утворюють скінчену чи зчисленну множину { j _i(x)}, причому будь-яка скінчена система елементів j _i(x) лінійно незалежна. Тобто j(x) беруть у вигляді

j(x) = a₀ j ₀(x) +a₁ j ₁(x) +... + a_n j _n(x), (1)

де – a₀, a₁,...,a_n сталі коефіцієнти. Функцію j(x) в цьому випадку називають узагальненим многочленом. Надалі розглядатимемо наближення функцій узагальненими многочленами.

Нехай у точках x ₀, x ₁,..., x _n (x _i¹ x _j, якщо i ¹ j) з відрізка [ a, b ] відомі значення функції y=f(x): y ₀= f (x ₀), y ₁= f (x ₁),..., y _n= f (x _n). Розглянемо один з випадів апроксимації, що називається інтерполюванням, або інтерполяцією. Суть його полягає в тому, що коефіцієнти a₀,a₁,...,a_n многочлена (1) добирають так, щоб у точках x ₀, x ₁,..., x _n значення функцій f(x) і j(x) збігалися, тобто

, i =0,1,..., n. (2)

Точки x ₀, x ₁,..., x _n називаються вузлами інтерполювання, а многочлен j (x) – інтерполяційним многочленом. Формулу y =j(x), знайдену для обчислення значень функції y = f (x), називають інтерполяційною. Задача інтерполювання матиме єдиний розв’язок, якщо при будь-якому розміщенні вузлів визначник системи (2) не дорівнюватиме нулю, тобто

.

Системи функцій, які задовольняють таку умову, називають системами Чебишова. На практиці систему { j _i(x)} часто беруть у вигляді послідовності цілих невід’ємних степенів змінної x, тобто j _i(x)= x ⁱ (i =0,1,2,...). Тут узагальнені многочлени є звичайними алгебраїчними многочленами. Інтерполювання в цьому випадку називається поліноміальним, або параболічним.

Дата добавления: 2015-05-10