Дослідження рівняння. Відокремлення коренів

Нехай задано неперервну функцію f (х) і потрібно знайти деякі або всі корені рівняння f (x)=0.

Здебільшого, як відомо, корені рівняння можна знайти лише наближено. Для знаходження наближених значень коренів даного рівняння з потрібною точністю доводиться розв'язувати такі задачі:

1) досліджувати кількість коренів та їх розміщення;

2) знаходити наближені значення коренів;

3) обчислювати потрібні корені з необхідною точністю.

Перші дві задачі, які ще інколи в поєднанні називають задачею відокремлення коренів, розв'язують аналітичними і графічними методами. Для відокремлення коренів іноді вдається використати властивості функції f (x), її графік тощо.

В аналітичному методі, наприклад, складають таблицю значень функції f (x), і якщо в двох сусідніх вузлах таблиці функція має різні знаки, то між ними лежить принаймні один корінь. Але якщо функція визначена на дуже великому проміжку (або навіть на всій числовій осі) і не відомо скільки коренів вона має, то метод табулювання функції буде малоефективним при відокремленні коренів.

Якщо функція f (x) диференційована на області визначення, то шукають критичні точки і обчислюють знак функції в цих точках та на +¥ і –¥. Якщо в сусідніх точках значення функції мають різні знаки, то на цьому інтервалі вона матиме лише один корінь, а якщо значення однакові, то на відповідному інтервалі коренів функція немає. Інтервали при цьому можуть бути дуже великими (в тому числі один з кінців може бути у нескінченності). Тоді звужують інтервал. Беруть довільну точку з середини інтервалу, обчислюють знак функції в цій точці і замінюють на дану точку той з кінців інтервалу де функція має той же знак.

Розглянемо графічний метод. Для наближеного розв’язання рівняння f (х)=0 будують графік функції у = f (х). Абсциси точок перетину цього графіка з віссю абсцис і є коренями рівняння f (х)=0. Оскільки практично графік функції у = f (х) точно побудувати неможливо, то цим методом можна визначити лише наближені значення коренів рівняння f (х)=0.

У деяких випадках рівняння f (x)=0 зручно подати у вигляді f ₁(x)= f ₂(х), а потім побудувати графіки двох функцій: y = f ₁(x) i y = f ₂(х). Коренями рівняння f (х)=0 є абсциси точок перетину графіків функцій y = f ₁(x) i y = f ₂(х).

Графічний метод не дає можливості знайти корінь рівняння з наперед заданою точністю, і тому найчастіше його використовують для знаходження початкового, наближеного розв’язку та для визначення меж, в яких міститься розв’язок.

Наближені значення кореня уточнюють різними ітераційними методами.

Дата добавления: 2015-05-10