Теорема сложения вероятностей

Операции над случайными событиями. Вероятности суммы и произведения событий.

1. Суммой события А+В называется такое третье событие С, которое заключается в том, что хотя бы одно из событий-слагаемых произойдет, т.е. либо А, либо В, либо оба вместе.

2. Произведением двух событий А и В называется такое третье событие D, которое заключается в том, что оба события-сомножителя произошли, т.е.

Замечание: Если события не совместны, то их произведение является невозможным событием.

(4) для совместных событий.

(5) для несовместных событий.

Доказательство для несовместных событий.

Пусть имеется n возможных классических исходов.

Пусть m из них благоприятствуют событию А

и пусть k других (других, т.к. события несовместные и у них нет благоприятствующих исходов) исходов благоприятствуют событию В.

Тогда событию А+В благоприятствуют m+k исходов, т.е.

, что и требовалось доказать.

Следствие № 1: Теорема о сложении (формула 5) распространяется на любое конечное число несовместных событий (может быть 3, 4, 5…слагаемых).

Следствие № 2: Если события А₁, А₂, А₃, …образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1.

(6) полная группа

Доказательство:

Если события образуют полную группу, то их сумма является достоверным событием, вероятность которого равна 1, т.е.

Следствие № 3: Для противоположных событий справедливо равенство:

(7)

Пример:

В пруду плавает 100 рыб. Из них 20 щук и 10 лещей. Случайным образом ловят одну рыбу.

А) Какова вероятность того что это щука или лещ.

Б) Какова вероятность что это рыба другого сорта

Решение:

А – щука; В – лещ.

А)

Б)

Дата добавления: 2015-05-26