Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Свойства локальной функции Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Пусть событие А может произойти в любом из n повторных независимых испытаний с постоянной вероятностью р отличной от 0 и 1. пусть событие А не редкое, а количество испытаний достаточно велико, т.е. выполняются условия Муавра-Лапласа:

(1) тогда справедлива локальная формула Муавра-Лапласа:

(2) ; ; локальная функция Муавра-Лапласа

1.

2.

3.

Пример:

Вероятность того, что посеянное семя взойдет равна 0,85. найти вероятность того, что ровно 213 из 250 семян взойдет.

Решение:

n = 250 > 100; m = 213; p = 0,85; q = 0,15;

Пусть событие А может произойти в любом из M повторных независимых испытаниях с постоянной вероятностью р отличной от 0 и 1. Пусть количество испытаний велико, а события не редкие, т.е выполняются условия Муавра-Лапласа. Тогда вероятность того, что количество успехов заключено в некотором интервале определяется интегральной функцией Муавра-Лапласа.

(16)

- интегральная функция Муавра-Лапласа Ошибка

Свойства интегральной функции Муавра-Лапласа:

Пример:

Вероятность того, что деталь не пройдет контроль равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 деталей число не прошедших контроль заключено в пределах от 70 до 100.

?

Применим формулу 3 и подставим полученные данные.

Следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа:

1. Для симметричного интервала для числа успехов:

Пример:

В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что число деталей не прошедших контроль заключено в пределах от 70 до 90.

Применяя формулу 4 получаем:

2. Для доли или частости успехов.

Если доля или частость успехов заключена в интервале, симметричном относительно р, то справедлива формула:

Задача № 1.

Вероятность того, что стрелок попадет в цель равна 0,7. Произведено 400 выстрелов. Найти вероятность того, что доля попаданий отклоняется от вероятности равной 0,7 не более чем на 0,04.

Ответ: С вероятностью 0,9281 можно утверждать, что доля попаданий отклоняется от вероятности равной 0,7 не более чем на 0,04.

Задача № 2.

В условиях предыдущей задачи определить, какой интервал для частости попаданий можно гарантировать с вероятностью 0,9281.

По таблице наоборот.

(19) ;

Ответ: Можно гарантировать интервал (0,66; 0,74) для доли попаданий с вероятностью 0,9281.

Задача № 3.

В условиях предыдущей задачи определить, сколько нужно произвести выстрелов, чтобы для доли попаданий гарантировать интервал (0,66; 0,74) с вероятностью 0,9281.

→ (7)

Ответ: Необходимо произвести 400 выстрелов, чтобы для доли попаданий гарантировать интервал (0,66; 0,74) с вероятностью 0,9281.

Дата добавления: 2015-05-26