Задачі для самостійного вирішення

Задача 6. Два бруски масами m ₁= 1 кг і m ₂ = 4 кг, сполучені шнуром, лежать на столі. З яким прискоренням будуть рухатися бруски, якщо до одного з них прикласти силу F = 10 Н, направлену горизонтально? Яка буде сила натягнення T шнура, що сполучає бруски, якщо силу F прикласти до першого бруска? До другого? Тертям нехтувати. (Відповідь: a =2 м/с², T ₁=8 Н, T ₂=2 Н.)

Задача 7. Похила площина, що створює кут a = 25° з площиною горизонту, має довжину L = 2 м. Тіло, рухаючись рівноприскорено, зісковзнуло з цієї площини за час t = 2 с. Визначити коефіцієнт тертя f тіла об площину. (Відповідь: f = 0,35.)

Задача 8. На верхньому краю похилої площини укріплений блок, через який перекинута нитка. До одного кінцю нитки прив'язаний вантаж масою m ₁= 2 кг, лежачий на похилій площині. На іншому кінці висить вантаж масою m ₂ = 1 кг. Похила площина утворює з горизонтом кут a = 20°; коефіцієнт тертя між вантажем і похилою площиною f = 0,1.Считая нитка і блок невагомими, знайти прискорення, з яким рухаються вантажі, і силу натягнення нитки T. (Відповідь: a = 0,42 м/с², T = 9,36 Н.)

Задача 9. На горизонтальній дошці лежить вантаж. Коефіцієнт тертя між дошкою і вантажем f = 0,2. Яке прискорення в горизонтальному напрямі слід повідомити дошці, щоб вантаж міг з неї зісковзнути? (Відповідь: a > 0,2 g.).

Задача 10. Невелике тіло ковзає з вершини сфери вниз. На якій відстані h від вершини тіло відірветься від поверхні сфери і полетить вниз? Тертя нікчемо мало. Радіус сфери R =1 м. (Відповідь: h =0,33 м.).

Задача 11. З якою максимальною швидкістю може їхати по горизонтальній площині мотоцикліст, описуючи дугу радіусом R = 90 м, якщо коефіцієнт тертя гуми об грунт f = 0,4? На який кут a від вертикального напряму він повинен при цьому відхилитися. (Відповідь: v =19 м/с a = 21,8°).

Задача 12. Куля масою m ₁ = 10 кг стикається з кулею масою m ₂ = 4кг.Скорость першої кулі v ₁ = 4 м/с, другої - v ₂ = 12 м/с. Знайти загальну швидкість u куль після удару в двох випадках: 1) коли друга куля наганяє перший, що рухається в тому ж напрямі; 2) коли кулі рухаються назустріч один одному. Удар вважати прямим, центральним, непружним. (Відповідь: u ₁ = 6,28 м/с, u ₂ = -0,57 м/с.)

Задача 13. В човні масою M =240 кг стоїть людина масою m = 60 кг. Човен пливе із швидкістю v = 2 м/с. Людина стрибає з човна в горизонтальному напрямі із швидкістю u = 4 м/с (щодо човна). Знайти швидкість човна після стрибка людини: 1) вперед по руху човна; 2) убік, протилежну руху човна. (Відповідь: v ₁ = 1 м/с, v ₂ = 3 м/с).

Задача 14. На залізничній платформі встановлено знаряддя. Маса платформи із знаряддям М = 15 т. Знаряддя стріляє вгору під кутом a = 60⁰ до горизонту у напрямі шляху. З якою швидкістю u покотиться платформа унаслідок віддачі, якщо маса снаряда m = 20 кг і він вилітає із швидкістю v ₂ = 600 м/с? (Відповідь: u = 0,4 м/с).

Задача 15. З гармати масою M =1.5 т, що вільно зісковзує по похилій площині і пройшла вже шлях L = 16 м, робиться постріл в горизонтальному напрямі. Снаряд вилітає із швидкістю v = 600 м/с, при цьому гармата після пострілу зупиняється. Кут нахилу площини до горизонту a = 30°. Знайти масу снаряда m. (Відповідь: m =36 кг).

Тема 3. Закон збереження повної механічної енергії. Робота сил.

Приклади рішення задач.

Задача 1. Куля масою m = 20 г, що летить з горизонтальною швидкістю v = 500 м/с, потрапляє в мішок з піском масою M = 5 кг, що висить на довгому шнурі, і застряє в ньому. Знайти висоту H, на яку підніметься мішок, і частку з кінетичної енергії, яка буде витрачена на пробиття піску.

Рішення

В результаті попадання кулі, мішок придбаває початкову швидкість u і підіймається на висоту H. Для знаходження швидкості скористаємося законом збереження імпульсу системи куля-мішок. Протягом короткочасної взаємодії двох цих тіл зовнішні сили - сила тяжіння і сила натягнення шнура вертикальна, тому проекція імпульсу на горизонтальну вісь постійна. Отже, виконується закон збереження імпульсу:

mv = (m+M) u. (1)

Розглянемо рух мішка в полі тяжіння Землі. Сила натягнення шнура роботи не здійснює, оскільки під час руху вона перпендикулярна переміщенню. Отже, до системи ”мішок з кулею - Земля“ можна застосувати закон збереження повної механічної енергії:

[(m+M) u ²]/2 = (m+M) gH. (2)

Енергія, що затрачує на пробиття піску, тобто на здійснення роботи проти сил непружної деформації, рівна:

A = T ₁- T ₂ = mv ² / 2 - (m+M) u ² / 2.)

Частка кінетичної енергії, витрачена на цю роботу:

η = A/T ₁. (4)

З рівнянь (1-4) маємо:

H = u ²/2 g = 0,2 м, η = [ M /(M+m)] 100 % = 96,5 %. (5)

Відповідь: H = 0,2 м, η = 96,5 %.

Задача 2. Бойок (ударна частина) молота палі масою m = 500 кг падає на палю масою M = 100 кг із швидкістю v ₁ = 4 м/с. Визначити: 1) кінетичну енергію T ₁ бойку у момент удару; 2) енергію T ₂, що затрачує на поглиблення палі в грунт; 3) кінетичну енергію T, що перейшла у внутрішню енергію системи; 4) ККД удару бойку об палю. Удар бойку об палю розглядати як непружний.

Рішення

Кінетичну енергію бойку у момент удару об палю знаходимо по формулі:

T ₁ = mv ₁²/2 = 4 кДж. (1)

Щоб визначити енергію, що затрачується на поглиблення палі, заздалегідь знайдемо швидкість системи бойок-паля безпосередньо після удару. Для цього застосуємо закон збереження імпульсу, який у разі непружного удару виражається формулою:

mv ₁ + Mv ₂ = (M+m) u (2)

де v ₂ - швидкість палі перед ударом, u - швидкість бойку і палі безпосередньо після удару. Паля перед ударом знаходилася в стані спокою, тому v ₂ = 0. Оскільки удар непружний, то бойок і паля після удару рухаються як одне ціле, тобто з однаковою швидкістю u. В результаті опору грунту швидкість бойку і палі після удару швидко гаситься, а кінетична енергія, якою володіє система бойок-паля, затрачується на поглиблення палі в грунт. Цю енергію знаходимо по формулі:

T ₂ = [(m+M) u ² ]/2. (3)

Підставивши (1) і (2) в (3), одержуємо:

T ₂ = [ m/(m+M) ] T ₁ = 3,33 кДж.

Бойок до удару володів енергією T ₁; T ₂ - енергія, що затрачується на поглиблення палі в грунт. Отже, у внутрішню енергію, пов'язану з непружною деформацією палі, перетворилася енергія:

T = T ₁ - T ₂ =0,67 кДж.

Молот палі служить для забивання палі в грунт; отже, енергію T ₂ слід вважати корисною. ККД удару бойку об палю виразиться як відношення енергії T ₂, що затрачується на поглиблення палі в грунт, до всієї енергії T ₁, що затрачується:

η = T ₂ / T ₁. (4)

Підставивши (3) в (4), маємо η = m /(m+M) = 83,3 %.

Відповідь: T ₁ = 4 кДж, T ₂ = 3,33 кДж, T = 0,67 кДж, η = 83,3 %.

Задача 3. Кулька маси m, підвішена на нитці, довжина якої r. В положенні рівноваги кульці надали в горизонтальному напрямі таку швидкість v ₀, при якій кулька відхилилась на кут, більший 90⁰. Запасеної кулькою енергії недостатньо для здійснення повного обороту у вертикальній площині. На яку максимальну висоту підніметься кулька?

Рішення

Поки кулька не зійшла з кругової траєкторії, на неї діє сила тяжіння mg і сила натягнення нитки T (див. малюнок т. В). Рівняння руху кульки в цьому випадку буде мати вигляд:

Якщо в точці B кулька зійшла з кругової траєкторії, то сила натягнення нитки, починаючи з цього моменту, стає рівною нулю і рівняння приймає вигляд:

. (1)

Із закону збереження енергії випливає:

З геометричних міркувань можна записати

H = r + r sin α. (3)

Вирішуючи систему рівнянь (1), (2) і (3), отримаємо відповідь до задачі:

Задача 4. На яку величину х стисне пружину гиря, кинута вниз з початковою швидкістю v з висоти H, якщо та ж гиря, встановлена на верхній край пружини, стискає її на величину L?

Рішення

Оскільки тертя відсутнє, повна механічна енергія системи повинна зберігатися. Візьмемо нульовий рівень відліку потенційної енергії на рівні верхнього краю стислої пружини після попадання в неї гирі, що летить. В цьому випадку в початковий момент часу енергія системи E ₁ може бути обчислена таким чином:

де m - маса гирі. В кінцевому стані швидкості гирі і пружини будуть рівні нулю, і вся енергія перейде в енергію пружної деформації пружини

.

Для визначення коефіцієнта пружності пружини k скористаємося тією умовою, що встановлена на пружину гиря стискає її на величину L. Це означає, що виконується умова рівноваги kL = mg, звідки відразу слідує k = mg/L.

З умови збереження енергії E ₁ = E ₂. Підставляючи в це співвідношення приведені вище вирази, одержуємо рівняння щодо невідомої величини х:

Вирішуючи це рівняння, одержуємо відповідь до задачі:

.

Задача 5. Тіло масою m падає з висоти H і заглиблюється в грунт на глибину L. Яка сила опору грунту F, якщо тіло почало падати з початковою швидкістю v ₀?

Рішення

Будемо вважати, що потенційна енергія тіла в кінцевому положенні (у момент зупинки) дорівнює нулю. При русі в грунті на тіло окрім сили тяжіння діє сила опору. Робота сили опору дорівнює A = FLcos a= = - FL, оскільки кут a між напрямом дії сили і переміщенням рівний 180⁰. Початкова енергія тіла E ₁ дорівнює сумі його кінетичної і потенційної енергій:

Різниця між кінцевим і початковим значеннями механічної енергії буде рівна роботі сили опору грунту, тобто:

Звідси одержуємо відповідь до задачі:

Дата добавления: 2015-05-26