Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Задачі для самостійного вирішення




Задача 6. Куля, що рухається із швидкістю v1=10 м/с, пружно стикається з кулею, що покоїться і має в n = 5 раз велику масу, і відлітає в напрямі, перпендикулярному напряму його первинного руху. Визначити швидкості u 1 і u 2 куль після удару. (Відповідь: u 1 = 8,16 м/с, u 2 = 2,58 м/с.)

Задача 7. З пружинного пістолета вистрілили кулею, маса якої m = 5 г. Жорсткість пружини k = 1,25 кН/м. Пружина була стиснута на Δ x = 8 см. Визначити швидкість кулі v при вильоті її з пістолета. (Відповідь: v =40 м/с).

Задача 8. Куля масою m = 1,8 кг стикається з кулею більшої маси M, що покоїться. В результаті прямого пружного удару куля втратила частку η = 0,36 своїй кінетичній енергії T 1. Визначити масу більшої кулі. (Відповідь: M = 16,2 кг.)

Задача 9. Ковзаняр, стоячи на льоду, кинув вперед гирю масою m = 5кг і унаслідок віддачі покотився назад із швидкістю v = 1 м/с. Маса ковзаняра M = 60 кг. Визначити роботу А, виконану ковзанярем при киданні гирі. (Відповідь: A = 390 Дж.)

Задача 10. Тіло масою m = 0,1 кг падає з висоти H = 0,1 м на горизонтальну пластинку масою M = 0,2 кг, лежачу на верхньому кінці вертикально розташованої пружини, коефіцієнт жорсткості якої k = 20 Н/м. В результаті абсолютно непружного зіткнення пластинка опустилася на відстань h від свого первинного положення. Стиснення пружини відбувається в області пружної деформації. Визначити h. (Відповідь: h=0,13 м.)

Задача 11. Обчислити роботу, виконану на шляху S = 12 м рівномірно зростаючою силою, якщо на початку шляху сила була рівна F 1 = 10 Н, а в кінці шляху - F 2 = 46 Н. (Відповідь: A = 336 Дж.)

Задача 12. Сталева кулька масою m = 20 г, падаючи з висоти h = 1 м на сталеву плиту, відскакує від неї на висоту Н = 81 см. Знайти імпульс р, отриманий плитою за час удару, і кількість теплоти Q, що виділилася при ударі. (Відповідь: р = 0,17 кгм/с, Q = 37,2 мДж.)

Задача 13. Знайти роботу А, яку треба здійснити, щоб збільшити швидкість руху тіла масою m = 1 кг від v 1 = 2 м/с до v 2 = 6 м/с на шляху завдовжки S = 10 м. На всьому шляху діє сила тертя F = 2 Н. (Відповідь: А = 36 Дж.)

Задача 14. З гори заввишки h = 2 м і завдовжки підстави b = 5 м з'їжджають санки, які потім зупиняються, пройшовши по горизонталі відстань L = 35 м від підстави гори. Знайти коефіцієнт тертя f. (Відповідь: f = 0,05.)

Задача 15. Локомотив масою M = 8,6 т починає рухатися із станції так, що його швидкість міняється згідно із законом, де b = 0,22 м/с, s - пройдений шлях, узятий в метрах. Знайти сумарну роботу А всіх сил, діючих на локомотив за перші t = 5 хвилин після початку руху. (Відповідь: A = 226 кДж).

 

Тема 4. Динаміка твердого тіла. Основне рівняння динаміки обертального руху.

Приклади рішення задач.

Задача 1. Вал у вигляді суцільного циліндра масою m 1 = 10 кг насаджений на горизонтальну вісь. На циліндр намотаний шнур, до вільного кінця якого підвішена гиря масою m 2 = 2 кг. З яким прискоренням а буде опускатися гиря, якщо її надати самій собі?

Рішення

Лінійне прискорення гирі рівно тангенціальному прискоренню точок валу, що лежать на його циліндровій поверхні, і пов'язано з кутовим прискоренням валу співвідношенням:

a = ε r (1)

де r -радиус валу.

Кутове прискорення валу виражається основним рівнянням динаміки тіла, що обертається:

ε = M/J (2)

де M - обертаючий момент, діючий на вал; J -момент інерції валу щодо осі обертання. Розглядаємо вал як однорідний циліндр. Тоді його момент інерції щодо геометричної осі рівний:

J = m 1r2 /2. (3)

Обертаючий момент M, діючий на вал, рівний добутку сили натягнення T шнура на радіус валу:

M = Tr. (4)

Силу натягнення шнура знайдемо з наступних міркувань. На гирю діють дві сили: сила тяжіння m 2 g, направлена вниз, і сила натягнення T шнура, направлена вгору. Рівнодіюча цих сил викликає рівноприскорений рух гирі. По другому закону Ньютона:

m 2 g - T = m 2 a. (5)

Підставивши (3-5) в (2), одержуємо кутове прискорення е валу:

ε = 2 m 2(g-a)/ m 1 r 2. (6)

Для визначення лінійного прискорення гирі підставимо останній вираз у формулу (1) і отримаємо: а = 2 m 2 g /(m 1+2 m 2) = 2,80 м /с2 .

Відповідь: а = 2,80 м/с2.

Задача 2. До обода однорідного диска радіусом R = 0,5 м і масою m = 50 кг прикладена дотична сила F = 200 Н. При обертанні на диск діє момент сил тертя M тр= 25 Н×м. Знайти кутове прискорення диска e і момент часу t після початку руху, коли диск буде мати частоту обертання n = 10 об/с.

Рішення

Згідно основному рівнянню динаміки обертального руху:

J ε = FR - M тр (1)

де J = mR 2/2 - момент інерції диска. Результуючий момент сил, під дією якого обертається диск рівний: (FR-M тр), оскільки момент сили F і момент сили тертя направлений протилежно.

З (1) знаходимо кутове прискорення:

ε = 2(FR-M тр)/(mR 2) = 12 рад/с2 . (2)

Оскільки кутове прискорення постійно, то шуканий час визначимо з рівняння:

t = ω/ε = 2π n /ε = 5,23 с (3)

де ω=2p n - кутова швидкість.

Відповідь: e = 12 рад/с2, t=5,23 с.

Задача 3. Знайти момент інерції системи з трьох вантажів масою m = 1кг кожний, розміщених у вершинах невагомого рівностороннього трикутника із стороною a = 1 м, відносно осі, що перпендикуляра площини трикутника і проходе через третю частину одній з його сторін.

Рішення

Момент інерції системи буде рівний сумі моментів інерції окремих її частин. Розглянемо трикутник АВС (див. малюнок). З малюнка видно, що відстань двох вантажів від осі обертання буде рівна:

OC = r 1 = a /3, OB = r 2 = 2 a /3.

Для визначення відстані між віссю і третім вантажем розглянемо трикутник АОD. В цьому трикутнику OD = a /2 - a /3 = a /6, AD = a

і відстань від третього вантажу до осі:

OA = r 3 = (a 2/36 + 3 a 2/4)1/2 =

Момент інерції системи вантажів рівний

J = m r 12 + m r 22 + m r 32 = 4/3 ma 2.

Підставляючи чисельні значення, отримаємо відповідь: J = 1,3 кг×м2.

Задача 4. Знайти момент інерції плоского рівнобедреного прямокутного трикутника із стороною a = 0,2 м і масою m = 1 кг відносно осі, співпадаючої з однією з його сторін.

Рішення

Направимо вісь х уздовж одного з катетів, за початок відліку приймемо вершину трикутника (див. малюнок). Розіб'ємо площу трикутника на нескінченно малі шари шириною dx, перпендикулярні осі обертання. Розглянемо один з таких шарів, розташований на відстані х від початку координат. Оскільки момент інерції тіла відносно якої-небудь осі рівний сумі моментів інерції його частин відносно цієї осі, то момент інерції трикутника буде рівний сумі моментів інерції виділених шарів. Кожний шар є стрижнем з довжиною, рівній х (оскільки кут при вершині трикутника рівний 450, довжина кожного шару рівна відстані від шару до початку координат). Момент інерції стрижня завдовжки х відносно осі, що перпендикулярна до стрижня і проходе через його кінець, дорівнює

dJ =1/3⋅ x 2 dm,

де dm - маса шару завдовжки х і шириною dx. Щоб знайти величину dm, потрібно площа шару помножити на масу одиниці площі. Оскільки площа трикутника рівна S = a 2/2, а площа шару рівна xdx, то маса шару виражається як:

Момент інерції шару буде рівний

.

Тоді для моменту інерції трикутника одержуємо вираз:

Підставляючи чисельні значення, знаходимо J = 0,0067 кг×м2.

Відповідь: J = 0,0067 кг×м2.

Задача 5. Знайти момент інерції J плоского кільця масою m = 1 кг щодо осі, перпендикулярної площини кільця і проходячій через точку, що лежить на зовнішньому краї кільця. Внутрішній радіус кільця рівний r = 10 см, зовнішній – R = 20 см.

Рішення

Згідно теоремі Штейнера, момент інерції кільця J відносно осі, перпендикулярної його площини і проходячій через точку на краю кільця, може бути обчислений таким чином:

J = J 0 + ma 2,

де J 0 - момент інерції відносно осі, що проходить через центр мас (центр кільця), - відстань між віссю і центром мас. В нашому випадку a = R. Для знаходження моменту інерції J 0 візьмемо до уваги, що момент інерції будь-якого тіла рівний сумі моментів інерції його частин. Відповідно, момент інерції J 1 суцільного диска радіусом R відносно його осі рівний сумі моменту інерції J 2 суцільного диска радіусу r відносно цієї осі, і моменту інерції кільця J 0 . Моменти інерції дисків рівні, відповідно: J 1 = M 1 R 2/2 і J 2 = M 2 r 2/2, де M 1 і M 2 - маси дисків. Тоді можна записати:

З останнього виразу одержуємо:

Якщо густина матеріалу кільця r, а його товщина d, то M1 = rpd R 2, M 2 = rpdr2 і маса кільця m= rpd(R 2 - r 2), звідки

Підставляючи знайдені значення r, M 1 і M 2 у вираз для J 0, одержуємо:

,

звідки випливає:

Підставляючи чисельні значення, остаточно знаходимо J = 0,065 кг×м2.

Відповідь: J = 0,065 кг м2.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-26; Просмотров: 1844; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.028 сек.