Ротатабельное планирование второго порядка

Планирование второго порядка используют в тех случаях, когда линейного приближения недостаточно для математического описания объекта исследований с нужной точностью, а поэтому возникает необходимость в построении моделей в виде полиномов второй степени. При описании поверхности отклика уравнением второго порядка нельзя ограничиться варьированием факторов только на двух уровнях. В связи с этим переходят к планированию, связанному с варьированием факторов на трёх или пяти уровнях.

При ротатабельном планировании второго порядка достраивают план ПФЭ «ядро» или его регулярную дробную реплику (полуреплику) ДФЭ до плана второго порядка добавлением к «ядру» определённого количества «звёздных» и нулевых точек. Матрицу ПФЭ рекомендуется использовать в качестве «ядра» ротатабельного плана второго порядка при к £ 5, а полуреплику при к ³ 5. Нулевые точки – это точки в центре эксперимента. «Звёздные» точки строят на осях координат, определяя величину «звёздного» плеча L (расстояние от нулевой точки до «звёздной» по оси координат. Для «ядра» в виде плана ПФЭ L определяют по формуле:

. (15.1)

Если ядром является дробная реплика типа 2^к-р, то:

. (15.2)

При выборе числа нулевых точек учитывают, что они необходимы для проверки адекватности модели и оценки ошибки эксперимента.

Общее число опытов N при ротатабельном планировании определяется из соотношения:

N = 2^к + 2к + n₀ = n_я + n_l + n₀. (15.3)

Все данные, нужные для построения матриц ротатабельного планирования при к £ 7, приведены в табл. 15.2.

На рис 15.1 показано расположение точек относительно центра ротатабельного плана при к = 2 и к= 3. Матрицы ротатабельного планирования второго порядка для к = 2 и к = 3 соответственно показаны в табл. 15.3, 15.4.

При ротатабельном планировании второго порядка обычно велик объём вычислительных работ на стадии обработки экспериментальных данных. Чтобы облегчить расчёты, используют упрощённый вариант для случаев с определённым числом факторов. Уравнения можно записать в следующем виде:

, (15.4)

, (15.5)

, (15.6)

, (15.7)

где – коэффициенты, значения которых выбираются из табл. 15.5.

Рис. 15.1. Расположение экспериментальных точек относительно центра ротатабельного плана

Для оценки значимости коэффициентов регрессии также можно использовать упрощённые формулы (15.8 – 15.13) и соответствующие табличные данные (табл. 15.6).

; (15.8)

; (15.9)

; (15.10)

, (15.11)

где , , , - соответственно квадратичные ошибки в определении коэффициентов ; , , , – коэффициенты.

- ошибка среднего по параллельным наблюдениям, связанная с дисперсией воспроизводимости соотношением (15.12):

, (15.12)

где – число повторений опытов.

Таблица 15.2

Данные для построения матриц ротатабельного планирования второго порядка

Число факторов к	Число точек	Величина плеча звёздных точек L	Общее число опытов N	Примечания (о ядре плана)
«ядра» nя	звёздных nl	Нулевых n0
				1.414		ПФЭ
				1.682		ПФЭ
				2.000		ПФЭ
				2.378		ПФЭ
				2.000		Полуреплика
				2.828		ПФЭ
				2.378		Полуреплика
				3.333		ПФЭ
				2.828		Полуреплика

Таблица 15.3

Матрица планирования ротатабельного плана второго порядка для к = 2

№ опыта	Точки	X1	X2
	«ядра»	+ - + -	+ + - -
	«звёздные»	-1.414 +1.414	-1.414 +1.414
	нулевые

Таблица 15.4

Матрица планирования ротатабельного плана второго порядка для к = 3

№ опыта	Точки	X1	X2	X3
	«ядра»	+ - + - + - + -	+ + - - + + - -	+ + + + - - - -
	«звёздные»	-1.68 +1.68	-1.68 +1.68	-1.68 +1.68
	«нулевые»

Таблица 15.5

Значения коэффициентов, неиспользуемых для расчёта коэффициентов регрессии при ротатабельном планировании второго порядка

Число факторов (К)	Число опытов (N)	Коэффициенты
а1	а2	а3	а4	а5	А6	а7
		0.2000	0.1000	0.1250	0.2500	0.1250	0.0187	0.1000
		0.1663	0.0568	0.0732	0.1250	0.0625	0.0069	0.0568
		0.1428	0.0357	0.0417	0.0625	0.0312	0.0036	0.0357
5*		0.1591	0.0341	0.0417	0.0625	0.0312	0.0028	0.0341
		0.0988	0.0191	0.0231	0.0312	0.0156	0.0015	0.0191
6*		0.1108	0.0187	0.0231	0.0312	0.0156	0.0012	0.0187
		0.0625	0.0098	0.0125	0.0156	0.0078	0.0005	0.0098
7*		0.0730	0.098	0.0125	0.0156	0.0078	0.0005	0.0098
		0.0398	0.0052	0.0066	0.0078	0.0039	0.0002	0.0052

* - полуреплика.

Таблица 15.6

Значения коэффициентов, используемых для оценки значимости коэффициентов регрессии в ротатабельных планах

при к = 2¸5

Число факторов (к)	Число опытов плана(N)	Коэффициенты
а8	а9	а10	а11
		0.2000 0.1663 0.1428 0.1591	0.125 0.0732 0.0417 0.0417	0.1438 0.0694 0.0341 0.0341	0.2500 0.1250 0.0625 0.0625

Дисперсия воспроизводимости находится по уравнению:

. (15.13)

Дисперсию адекватности модели при равномерном дублировании всех опытов плана находят по формуле:

, (15.14)

где –общее число опытов плана, включая и параллельные опыты в нулевой точке; – число опытов плана, имеющих одинаковое число повторений; – значение параметра оптимизации, вычисленное по модели, для условий n-го опыта.

Если опыты дублируются только в нулевой точке, то уравнение (15.15) принимает иной вид:

, (15.15)

где – остаточная сумма квадратов; – сумма квадратов отклонений; – число степеней свободы; l - число коэффициентов уравнения; – число повторений нулевого опыта.

Далее определяется расчётное значение критерия Фишера (13.25).

Особенности ротатабельного планирования второго порядка рассмотрим на конкретном примере при изучении зависимости критерия оптимизации () от двух факторов (к = 2). в этом случае применяем матрицу планирования, показанную в табл. 15.3.

Из табл. 15.2 следует, что число опытов в матрице равно 13 (N=13), в том числе четыре повторных опыта в нулевой точке (n_я=4).

При кодировании факторов учитывали их интервалы и уровни варьирования, приведённые в табл. 15.7.

Таблица 15.7

Уровни и интервалы варьирования факторов

Факторы	Уровни варьирования	Интервалы варьирования(Е)
-1.414	-1		+1	+1.414
С – концентрация реагента, %(X1)	1.2	1.4	1.9	2.4	2.6	0.5
t – температура, ^0С(X2)

Значения факторов в «звёздных» точках были найдены с помощью соотношения, характеризующего связь натуральных и кодированных величин:

, (15.16)

где – кодированное значение фактора; и – натуральные значения фактора (соответственно его текущее значение и значение на нулевом уровне); – натуральное значение интервала варьирования.

В нашем случае:

В результате была построена рабочая матрица, реализация которой позволила установить экспериментальные значения параметра оптимизации (табл. 15.8).

Таблица 15.8

Матрица планирования, рабочая матрица и результаты эксперимента

№ опыта	Матрица планирования	Рабочая матрица	Данные к примеру
X1	X2	C1,%	t,^0C	yu	Yu	(yu-yu)^2
	+	+	2.4			49.9	0.01
	-	+	1.4			65.2	3.24
	+	-	2.4			62.4	5.76
	-	-	1.4			70.6	0.36
	-1.414		1.2			68.1	3.61
	+1.414		2.6			51.5	2.25
		-1.414	1.9			70.6	1.96
		+1.414	1.9			57.6	2.25
			1.9			64.0	4.00
			1.9			64.0	0.00
			1.9			64.0	16.00
			1.9			64.0	0.00
			1.9			64.0	4.00

По результатам эксперимента находим значения коэффициентов регрессии следующего уравнения:

. (15.17)

Для определения этих коэффициентов используем уравнения (15.4 – 15.7) и данные табл.15.5.

b₁ = -5.875, b₂ = -4.500, b₁₂=-1.750, b₁₁ = -2.112, b₂₂ = 0.112.

Таким образом, уравнение (15.17) принимает вид:

. (15.18)

Проверим гипотезу об адекватности уравнения:

,

,

.

Зная число степеней свободы, определяем табличное значение критерия Фишера для 95%-ной доверительной вероятности

F_табл.=6.85.

Сравнение табличного и расчётного значений критерия Фишера (F_табл>F_расч) показывает, что полученное уравнение регрессии можно считать адекватным с доверительной вероятностью 0.95.

Значимость коэффициентов регрессии проверяем с учётом уравнений (15.8 – 15.12) и данных табл. 15.6:

; ;

; ;

; ;

; ;

; .

Сравнение абсолютных коэффициентов регрессии и соответствующих погрешностей в их оценке показывает, что с доверительной вероятностью 0.95 в уравнении (15.18) можно считать значимыми все коэффициенты, кроме b₁₂ и b₂₂. В результате этого уравнение принимает вид:

.

Дата добавления: 2015-05-26