Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Пусть − какая-нибудь линейно независимая система векторов пространства

Пусть − какая-нибудь линейно независимая система векторов пространства . Положим и , где − некоторое действительное число. В силу линейной независимости системы вектор отличен от нуля при любом действительном . Покажем, что можно выбрать такое значение , чтобы вектор стал ортогонален вектору : . Подставляя выражение , получаем:

.

Но (а именно ), так как . Следовательно,

,

т.е. мы однозначно определили значение , при котором ортогонально . Полагаем далее , где и − действительные числа. Легко видеть, что . В самом деле, в противном случае получилось бы , или, подставляя выражения векторов и через векторы и :

,

что противоречит линейной независимости данной системы векторов . Потребуем теперь, чтобы вектор стал ортогональным к предыдущим векторам и :

и ,

или

,

.

Но . Следовательно,

и .

Скалярные квадраты и отличны от нуля, так как , , и мы можем последние два уравнения однозначно разрешить относительно и :

, и т. д.

Вообще, полагаем на -м шагу ()

,

где − действительные числа. Если бы , то, подставляя в левую часть этого равенства выражения векторов через , мы получили бы линейную зависимость векторов , что противоречит линейной независимости системы . Следовательно, при любых действительных . Потребуем, чтобы при . Подставляя выражение через и , получаем:

,

так как при и . Но , и потому . Следовательно,

, ,

и при этих значениях вектор будет уже ортогональным к предыдущим векторам .

Действуя таким образом, мы в конечном счете линейно независимую систему векторов преобразуем в ортогональную систему не­нулевых векторов .

Наконец, нормируя каждый вектор : , получим ортонормированную систему .

В частности, если − базис подпространства пространства , то его можем подобным процессом преобразовать в ортонормированный базис подпространства . Таким образом, для всякого ненулевого подпространства (и, в частности, для всего евклидова пространства ) существует по меньшей мере один ортонормированный базис.

Пример. В некотором базисе трехмерного евклидова пространства скалярное произведение задано следующей симметрической би­линейной формой:

.

Преобразовать этот базис в ортонормированный базис пространства .

Решение. Сперва преобразуем базис в ортогональный базис: , ,

,

откуда . Вместо возьмем . Это удобнее, так как вектор имеет целые координаты и также ортогонален к . Полагаем далее:

.

Находим:

, ,

откуда . Но вместо удобнее взять . Итак, мы получили ортогональный базис: , , . Нормируем его: , , . Получаем следующий ортонормированный базис пространства :

, , .

Дата добавления: 2015-05-29