Ортонормированный базис и скалярное произведение в нём

В ортонормированном базисе евклидова пространства скалярное произведение приобретает особенно простой вид, а именно имеет место следующая теорема.

Теорема. В ортонормированном и только в ортонормированном базисе евклидова пространства скалярное произведение произвольной пары векторов и равно:

,

где − координаты вектора и − координаты вектора .

Доказательство. Пусть − ортонормированный базис пространства и , − произвольная пара векторов. Тогда

, .

Но и при . Следовательно,

. (*)

Обратно, пусть скалярное произведение произвольной пары векторов , выражается в некотором базисе формулой (3). Так как вектор имеет -ю координату, равную 1, а остальные его координаты равны пулю, то по формуле (*) получается, что . Аналогично по той же формуле получается при , что . Мы видим отсюда, что − ортонормированный базис.

Дата добавления: 2015-05-29