Симметрическое преобразование

Обратимся к другому важному типу линейных преобразований евклидова пространства. Назовем линейное преобразование евклидова пространства симметрическим или самосопряженным, если скалярные произведения и равны для любой пары векторов , :

Теорема. Линейное преобразование евклидова пространства тогда и только тогда является симметрическим, когда оно в произвольном ортонормированном базисе задается симметрической матрицей с действительными элементами.

Отметим, что квадратная матрица порядка называется симметрической, если она совпадает со своей транспонированной матрицей .

Доказательство. Пусть − симметрическое преобразование. Тогда согласно определению . Но , , где имеет координаты, равные нулю, кроме -й, равной единице, а имеет координаты, равные нулю, кроме -й, также равной единице. Отсюда получается, что

,

.

отсюда , т.е. . Матрица оказалась симметрической.

Обратно, пусть − симметрическая матрица с действительными элементами. Возьмем произвольные векторы и с координатными столбцами и и обозначим координатные столбцы образов и соответственно через и .

Тогда

,

Транспонируя левую и правую части первого из этих равенств, получаем:

,

или, так как :

.

Находим теперь, чему равны скалярные произведения и в ортонормированном базисе :

,

Мы видим, что , т.е. − симметрическое преобразование пространства .

Симметрическая матрица (и тем самым симметрическое преобразование пространства ) обладает следующим замечательным свойством.

Дата добавления: 2015-05-29