Доказательство

1. Пусть для преобразования существует ортонормированный базис из собственных векторов: , (могут встречаться и равные ). В этом базисе преобразование будет задаваться диагональной матрицей

.

Но − симметрическая матрица. Следовательно, по теореме из п. 1.10. преобразование должно быть симметрическим.

2. Обратно, пусть − симметрическое преобразование пространства . Обозначим через все различные характеристические числа преобразования . В силу теоремы 2 числа и только такие числа являются собственными значениями . Далее, обозначим через () подпространство, принадлежащее собственному значению , и через − ортонормированный базис . По лемме из п. 1.10. каждый вектор подпространства будет при ортогонален к каждому вектору подпространства . Отсюда получается, что система векторов , получающаяся путем объединения ортонормированных базисов подпространств , является ортонормированной. Пусть есть подпространство, натянутое на эту систему векторов. Очевидно, что векторы образуют ортонормированный базис подпространства и что эти векторы собственные. Если сумма равна – размерности евклидова пространства , то совпадает с , и теорема будет доказана. Поэтому предположим, что размерность подпространства меньше . Тогда по лемме 2 размерность ортогонального дополнения будет равна . Подпространство инвариантно относительно , так как для всякого вектора из получаем, что , т.е. есть также вектор из . Следовательно, по лемме 3 ортогональное дополнение является также инвариантным подпространством относительно . Симметрическое преобразование пространства , таким образом, индуцирует симметрическое преобразование инвариантного подпространства , в силу чего в должен существовать по меньшей мере один собственный вектор , принадлежащий некоторому собственному значению . Но все собственные векторы уже лежат в . Поэтому вектор должен одновременно принадлежать и , а это согласно лемме 1 возможно лишь при . Получается противоречие с тем, что (по определению собственный вектор есть, прежде всего, ненулевой вектор). Итак, подпространство должно совпадать с , и теорема доказана.

Обозначим через матрицу перехода от ортонормированного базиса к некоторому другому базису пространства . Нетрудно убедиться, что матрица ортогональна тогда и только тогда, когда базис ортонормирован.

В самом деле, матрица задает в ортонормированном базисе некоторое линейное преобразование пространства , переводящее в базис , и это преобразование (а следовательно, и матрица ) тогда и только тогда ортогонально, когда базис ортонормирован.

Пусть теперь симметрическое преобразование пространства задано в некотором ортонормированном базисе симметрической матрицей . Согласно теореме должен существовать ортонормированный базис из собственных векторов, при котором задается диагональной матрицей . Матрица перехода от первоначального базиса к базису из собственных векторов должна быть ортогональной, так как оба базиса ортонормированы. Следовательно, для всякой симметрической матрицы с действительными элементами можно подобрать такую ортогональную матрицу того же порядка, чтобы была диагональной матрицей.

Покажем, что независимо от выбора ортогональной матрицы получается единственный диагональный вид симметрической матрицы с действительными элементами с точностью до порядка следования диагональных элементов.

Пусть эта матрица приводится к диагональному виду

с помощью ортогональной матрицы и к диагональному виду

с помошыо ортогональной матрицы . Так как матрицы и подобны матрице : и , то матрица подобна матрице : , где . Отсюда следует, что характеристические многочлены матриц и равны: или , откуда диагональные элементы матрицы с точностью до порядка следования должны совпадать с диагональными элементами матрицы (в силу единственности разложения многочлена на неприводимые множители).

Пример. Привести симметрическую матрицу

к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы.

Составляем характеристическую матрицу и характеристическое уравнение;

и

,

откуда получаются характеристические числа и соответственно кратности и . Находим ортонормированный базис подпространства , принадлежащего собственному значению .

Ранг матрицы

системы линейных однородных уравнении

задающей подпространство , равен 1. Находим фундаментальную систему решений этой системы линейных однородных уравнений: и . Следовательно, , есть базис подпространства , где , , − некоторый ортонормированный базис евклидова пространства , в котором матрица задает симметрическое преобразование . Ортогонализируем и нормируем векторы и ; получаем:

, .

Далее, находим ортонормированный базис подпространства принадлежащего собственному значению . Ранг матрицы

системы линейных однородных уравнении

задающей подпространство , равен 2. Следовательно, фундаментальная система должна состоять из одного решения. Находим его: . Таким образом, базис подпространства состоит из одного вектора . Нормируем :

, .

Так как отлично от , то вектор должен быть ортогонален к векторам и . В качестве контроля можно составить скалярные произведения и и убедиться, что они равны нулю.

Итак, нами получена ортонормированная система собственных векторов:

, , .

и эта система образует базис всего евклидова пространства . В базисе , , симметрическое преобразование будет задаваться диагональной матрицей

,

и матрицей перехода от первоначального базиса , , к базису , , будет ортогональная матрица

.

Предлагаем в качестве контроля перемножить матрицы ( − транспонированная матрица ), и и убедиться, что произведение равно диагональной матрице .

Дата добавления: 2015-05-29