Ранг квадратичной формы

Итак, всякую квадратичную форму можно методом Лагранжа можно привести к виду:

, (1)

где отличны от нуля.

Возникает естественный вопрос: чему равно число квадратов, входящих в каноническую форму (1)? Ниже мы увидим, что на этот вопрос можно дать вполне определенный ответ.

Составим квадратную матрицу -го порядка

из коэффициентов квадратичной формы . Будем называть матрицей формы , а ранг − рангом формы .

Так как в квадратичной форме , то матрица не меняется при транспонировании. Матрица -го порядка, остающаяся без изменения при транспонировании, называется, как известно, симметрической.

Покажем, что своей матрицей квадратичная форма определяется вполне однозначно.

Пусть и − две квадратичные формы от , у которых матрицы и равны. Тогда () и члены и (), а также и равны, откуда согласно определению равенства многочленов от нескольких неизвестных следует, что .

Обратно, пусть квадратичные формы и равны. Пользуясь снова понятием равенства многочленов от нескольких неизвестных, находим, что члены и (), и должны быть равны, откуда () и .

Нашей основной задачей, является доказательство следующей теоремы.

Теорема. От невырожденного линейного преобразования ранг формы не изменяется.

Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, введем матричный вид записи квадратичной формы и займемся некоторыми свойствами матриц -го порядка, связанными с рангом матрицы.

Обозначим через матрицу-столбец:

,

составленную из неизвестных . Тогда квадратичная форма () запишется в виде

,

где − матрица квадратичной формы, а − транспонированная матрица , т.е. .

В самом деле, по правилу перемножения матриц получаем, что

,

так как .

Пусть есть произведение матриц:

и .

Что можно сказать относительно ранга ? Мы сейчас покажем, что ранг произведения двух матриц не выше ранга каждого из сомножителей.

В самом деле, если − элемент матрицы , то по правилу перемножения

().

Таким образом, каждый элемент есть сумма слагаемых. Обозначим теперь ранг матрицы через , а ранг матрицы через и покажем, что любой минор () -го порядка матрицы равен нулю. Определитель можно, очевидно, разложить на сумму определителей типа

, (2)

так как элемент каждого столбца есть сумма слагаемых. Вынося из каждого столбца определителя (2) общий множитель, получим:

.

Последний определитель может иметь некоторые строки или столбцы одинаковыми, но может также иметь и различные строки и столбцы. В первом случае он, очевидно, равен нулю. Но и во втором случае определитель равен нулю, так как он будет минором -го порядка () матрицы ранга .

Итак, мы видим, что равно нулю, так как все его слагаемые (2) равны нулю. Этим вполне доказано, что ранг не может быть выше ранга .

Остается показать, что ранг не выше ранга второго сомножителя . Обращаемся к транспонированной матрице . Ее ранг, с одной стороны, равен рангу . С другой стороны, , а отсюда, пользуясь результатом, полученным для первого сомножителя, находим, что ранг не может быть выше ранга . Но ранг транспонированной матрицы равен рангу . Таким образом, ранг не может быть выше ранга .

Особенно важен для нас тот частный случай, когда один из сомножителей, например , есть невырожденная матрица.

Если матрица ранга умножается (слева или справа) на невырожденную матрицу , то ранг произведения также равен .

Доказывается это довольно просто. С одной стороны, ранг произведения , как мы уже знаем, меньше или равен рангу матрицы : . С другой стороны, умножив справа на , получим: .

Здесь является произведением на ; поэтому ранг меньше или равен рангу матрицы : . Но неравенства , как раз свидетельствуют о том, что .

Для произведения доказательство приводится аналогично.

Теперь мы в состоянии доказать нашу теорему.

Доказательство. Квадратичную форму

удобнее записать в матричном виде

, (3)

где , − матрица , и − транспонированная матрица .

Подвергнем невырожденному линейному преобразованию:

(). (4)

Здесь в отличие от предыдущего старые неизвестные выражаются через новые. Обозначим через матрицу этого преобразования: . Линейное преобразование (4) можно записать в матричном виде:

, где .

Подставляя это выражение в правую часть равенства (3), получаем: , или, так как :

.

Матрица является также симметрической, так как (очевидно, , а благодаря тому, что − симметрическая матрица). Мы видим отсюда, что − матрица преобразованной квадратичной формы.

Итак, при линейном преобразовании (4) неизвестных с матрицей (старые неизвестные выражаются через новые) матрица В преобразованной квадратичной формы выражается через матрицу первоначальной квадратичной формы следующим образом: .

Отсюда, так как − невырожденная матрица, ранг равен рангу ; в свою очередь ранг равен рангу , поскольку также невырожденная матрица. Следовательно, ранг преобразованной квадратичной формы равен рангу первоначальной формы. Теорема доказана.

Выражение нельзя смешивать с выражением , так как, вообще говоря, матрица не равна обратной матрице .

Вернемся к вопросу, заданному в самом начале параграфа. Чему равно число членов канонического вида (1)? Оказывается, что равно рангу формы .

Следствие. Если − квадратичная форма ранга , то после приведения ее линейным невырожденным преобразованием к каноническому виду она будет содержать отличных от нуля членов.

В самом деле, пусть квадратичная форма ранга приведена к каноническому виду (1). Матрица формы (1), очевидно, равна:

(Если , то последние строк и столбцов отпадают.), откуда ясно, что ранг равен . Но, с другой стороны, ранг формы от невырожденного преобразования не меняется; следовательно, , что и требовалось показать.

В заключение разберем пример, иллюстрирующий вышеизложенное.

Пример. Рассмотрим форму . Ее ранг равен двум, так как ранг ее матрицы

равен 2. Следовательно, после приведения к каноническому виду с помощью линейного невырожденного преобразования должно получиться два отличных от нуля члена независимо от способа приведения. И действительно, преобразуя методом Лагранжа, получим канонический вид , причем , , .

Дата добавления: 2015-05-29