Определение линейного векторного пространства

Из курса аналитической геометрии известно, что любая точка плоскости (при заданной системе координат) определяется двумя координатами, т.е. упорядоченной парой двух вещественных чисел, аналогично и любой вектор на плоскости. Любая точка трёхмерного пространства определяется тремя координатами, а вектор, в пространстве, тремя компонентами. Однако в геометрии, механике и физике приходится изучать такие объекты, для задания которых недостаточно трёх вещественных чисел.

Рассмотрим совокупность шаров в трёхмерном пространстве. Для того, чтобы шар был полностью определён нужно задать координаты его центра и радиус, т.е. задать упорядоченный набор четырёх вещественных чисел, из которых последнее – R – может принимать только положительные значения.

Рассмотрим различные положения твёрдого тела в пространстве. Для его определения нужны: - координаты центра тяжести (3 числа); - направление некоторой фиксирующей оси, проходящей через центр тяжести (2 числа – 2 из 3-х направляющих косинусов) и угол поворота вокруг этой оси. Т.е. система из 6 вещественных чисел.

Эти примеры указывают на целесообразность рассмотрения совокупности всевозможных упорядоченных систем из n совокупностей вещественных чисел.

Введём некоторые понятия.

Упорядоченный набор n чисел , называется n- мерным вектором; где , () – координаты вектора . Целесообразно дать «бескоординатное» определение векторного пространства, не требующее задания векторов упорядоченными наборами чисел. Такое определение – аксиоматическое, в нем ничего не будет сказано о свойствах отдельного вектора, но будут перечислены свойства, которыми должны обладать операции над векторами.

Пусть Р – некоторое числовое поле (оно, в частности, может быть полем вещественных или полем комплексных чисел) и V – некоторое множество, природа элементов которого не важна. Условимся элементы множества V обозначать малыми латинскими буквами а, b, c,..., а числа из Р – малыми греческими буквами .

Пусть во множестве определены:

1) операция сложения, ставящая каждой паре элементов а, b из V в соответствие единственный элемент a+b того же множества V, называемый их суммой;

2) операция умножения на вещественное число, ставящая в однозначное соответствие числу из Р иэлементу а из V элемент того же множества V.

Определение: Элементы множества V будут называться векторами, а само V – вещественным линейным (или векторным) пространством, если для указанных операций (1, 2) выполняются следующие свойства, называемые аксиомами линейного пространства:

I. Свойства сложения:

1. коммутативность: а + b = b + а, где а, b произвольные элементы множества V;

2. ассоциативность для любых элементов a, b, c рассматриваемого множества V;

3. в множестве V существует по меньшей мере один такой элемент 0, называемый нулевым, что для любого а из V;

4. для всякого данного множества существует по меньшей мере один такой элемент , называемый противоположным элементом к а, что .

II. Свойства умножения:

5. дистрибутивность относительно сложения чисел: если – числа из P и а, b произвольные элементы V, то ,

6. дистрибутивность относительно сложения векторов: .

7. ассоциативность относительно умножения чисел: если – числа из числового поля P и а – произвольный элемент рассматриваемого множества V, то

8. для любого элемента и для числа 1 из P справедливо равенство .

Примеры линейных пространств:

1) Множество квадратных матриц n -го порядка с элементами из поля . комплексных чисел образуют линейное пространство над полем . относительно операций сложения матриц и умножения матрицы па число.

2) Множество прямоугольных матриц размера с комплексными элементами также образуют линейное пространство над полем комплексных чисел К относительно тех же операций, причем роль 0 играет здесь прямоугольная матрица, у которой все элементы равны нулю.

3) Множество многочленов от х степени над числовым полем Р с установленными в нем обычными операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число образует, как нетрудно проверить, линейное пространство над Р.

4) Точно так же образует линейное пространство над числовым полем Р множество всех (т. е. без ограничения степени) многочленов от х над Р стеми же операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число.

5) Напротив, множество многочленов от х одной и той же степени над числовым полем Р с теми же операциями, что и в предыдущем примере, не образует линейного пространства над Р, так как сумма двух многочленов степени п может оказаться многочленом меньшей степени.

6) Множество вещественных функций вещественноой переменной х, непрерывных на отрезке [ а, b ], сустановленными на нем обычными операциями сложения функций и умножения функции на вещественное число образует линейное пространство над полем вещественных чисел .

Множество n -мерных строк (т. е. однострочных матриц, состоящих из n чисел) с элементами , принадлежащими некоторому числовому полю P, образует линейное пространство над полем Р относительно операций сложения матриц и умножения матрицы на число. Это так называемое пространство п-мерных строк над полем Р. Аналогично множество n-мерных столбцов с элементами , принадлежащими некоторому числовому полю P, образует линейное пространство над полем Р относительно тех же операций, так называемое пространство n-мерных столбцов над Р.

7) Рассмотрим в трехмерном пространстве множество геометрических векторов (направленных отрезков) с одним и тем же началом О (0, 0, 0). В качестве операций рассмотрим сложение векторов по правилу параллелограмма и умножение направленного отрезка на число. В число элементов рассматриваемого множества включается и точка О. Легко убедиться, что относительно этих операций трехмерное пространство векторов образует линейное пространство над полем вещественных чисел.

В дальнейшем линейное пространство над полем вещественных чисел будет коротко называться вещественным линейным пространством, а линейное пространство над полем комплексных чисел – комплексным линейным пространством.

Отметим некоторые простейшие следствия, вытекающие из определения линейного пространства.

1. В сумме нескольких векторов можно слагаемые произвольным образом объединять в скобки и произвольным образом менять порядок следования слагаемых, сумма от этого не изменяется.

2. В линейном пространстве существует только один нулевой вектор.

Доказательство: Докажем «от противного». Пусть наряду с существует , тогда , с другой стороны ■ (черный квадрат – квадрат Халмоша, в дальнейшем будет обозначать «что и требовалось доказать»).

3. Для всякого вектора а существует только один противоположный вектор – а.

Доказательство: Докажем «от противного». Пусть существует два противоположных элемента: и , т.е. и . Рассмотрим , с другой стороны , ■.

4. Из аксиом 1.-4. следует существование и единственность разности: .

Доказательство: В линейном пространстве V уравнение однозначно разрешимо для любых векторов а и b. Обозначим единственное решение этого уравнения через – разность векторов а и b. Действительно, есть решение уравнения , т.к. . Единственность решения: если — какое-нибудь решение уравнения , то прибавляя к обеим частям этого равенства противоположный вектор , получаем: , , , ■.

5. .

Доказательство: В самом деле, если произвольный вектор, то ■.

6. .

Доказательство: Если – произвольное число из поля Р, то ■.

7. Если , то или или .

Доказательство: Если , то существует : , если , то получим 6-е свойство ■.

8. .

Доказательство: , т.е. – противоположный элемент для ■.

9. .

Доказательство: , т.е. – противоположный элемент для ■.

10. .

11. .

В дальнейшем аксиомы 1.-8. и следствия 1.-11. будем использовать без оговорок.

Дата добавления: 2015-05-29