Замечание 3.3

Теорема 3.1

Пример 3.10

Проведем декомпозицию нечеткого множества (3.34). В соответст­вии с выражением (3.47) получим

0,3 0,3 0,3 0,3

0,7 0,7 0,7 1Г⁺~8~⁺То (3.49)

и

, 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 А -\ — + — + — + — + — 2 4 5 8 10

0,8 0,8 То"'

и

1 0,1 0,3 0,7 0,8 1 10 / 2 4 5 8 10

Пример 3.9 Допустим, что X =	= {1.2. 3: А =	4, 5, 6, 7} 0,9 1 3 ^+4 ^+	и 0,6 6	(3.42)
В соответствии с	В - °'^7 + ^1 + 3 ^+5 ^+ определением З.Т	0,4 ~6~ ' 1 получаем	(3.43)
	Аг	1 В - °'^7 + 3	0,4 6	(3.44)
В силу определения 3.12	имеем

. _D 0,9 1 1 0,6 3 4 5 6

(3.45)

3 4 5 6

В то же время алгебраическое произведение нечетких множеств Л и 6, заданное выражением (3.39), принимает вид

(3.46)

_{А о} 0,63 0,24 А -В=— —+-

3 6

В литературе известна так называемая теорема о декомпозиции. Она позволяет представить произвольное нечеткое множество А в виде суммы нечетких множеств, генерируемых а-разрезами множества А.

Любое нечеткое множество Л с X можно представить в виде

В литературе известны и другие, отличающиеся от 3.11 и 3.12 оп­ределения пересечения и суммы нечетких множеств. Вместо продублиро­ванных ниже формул (3.37) и (3.40)

а)

_A(x), ц_в(х)), = max (ц_А (х), /л_в (х)),

можно встретить и альтернативные определения, например,

(3.50) (3.51) (3.52) (3.53) (3.54)

ц_А(х), если /i_B(x) = 1, д_в(х), если д_д(х) = 1, 0, если /л_А(х), ц_в(х)< 1,

(3.55) (3.56)

, если, если 1, если ji_A(x), д_в(х)>0,

Д)

Глава 3. Нечеткие множества и нечеткий вывод

3.3. Операции на нечетких множествах

Цв(х)

(3.57)

,_в(х)=

для р > 1.

Как станет ясно из п. 3.7, операцию пересечения нечетких мно­жеств можно определить с помощью так называемой Т-нормы, тогда как операцию суммирования - с помощью так называемой S-нормы. Таким образом, формулы (3.37), (3.50), (3.52), (3.54) и (3.56) - это примеры ре­ализации Т-нормы (операция пересечения), тогда как формулы (3.40), (3.51), (3.53), (3.55) и (3.57)-это примеры реализации S-нормы (опера­ция суммирования).

Замечание 3.4

В литературе известны попытки аналитического определения «на­илучших» операций пересечения и суммирования нечетких множеств. Например, Беллман и Гиртц (Bellman and Giertz) в работе [1] поставили и решили задачу построения двух функций f и д

f,0:[O.1]x[O.1]->[O,1] таких, что

(3.58)

(3.59)

Авторы отмеченной публикации выдвинули ряд условий, которым должны удовлетворять функции f и д, после чего показали, что этим ус­ловиям удовлетворяют только операции (3.37) и (3.40), предложенные в оригинальной работе Заде [34]. Это не означает, что операции (3.37) и (3.40) адекватны во всех приложениях; например, если

(3.60)

то при этом в результате выполнения операции (3.37) получаем

Рис. 3.17. Пересечение нечетких множеств А\лВ при fi_fi(x) < /ig(x).

Рис. 3.18. Графическое представление операции дополнения нечеткого множества.

для каждого х е X. Графическая интерпретация операции дополнения представлена на рис. 3.18.

Пример 3.11

Допустим, что X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, а также

независимо от величины /uJx). Другими словами, функция принадлежно­сти нечеткого множества В не оказывает никакого влияния на результат пересечения нечетких множеств А и В. Этот факт иллюстрируется на рис. 3.17. В такой ситуации более логичным представляется применение в качестве операции пересечения, например, выражения (3.50). При этом пересечение двух нечетких множеств будет идентично алгебраическому произведению этих множеств (см. замечание 3.2).

Дата добавления: 2015-06-04