Пример 3.13

Пример 3.14

0,3 0,5 0,1 0,3 0,7 0,1

0,3 0,7 0,1

(3.76)

При использовании для декартова произведения нечетких мно­жеств А и В формулы (3.71) получаем

(3.77)

АхВ =

(2,2) (2,4) (2,6) (4,2) (4,4) (4,6)

Другие алгебраические операции на нечетких множествах играют важную роль в семантике лингвистических переменных (см. пункт 3.8).

Определение 3.15

Концентрация нечеткого множества А с X обозначается CON(A) и определяется как

№))² (3-78)

для каждого хеХ.

Определение 3.16

Разбавление нечеткого множества А с X обозначается DIL(A) и оп­ределяется как

№))°'⁵ (3-79)

для каждогохеХ.

Графическая интерпретация операции концентрации и разбавле­ния представлена на рис. 3.20.

Глава 3. Нечеткие множества и нечеткий вывод

3.4. Принцип расширения

i
	sTTX
		// V
		/		^\
				X

В = f(A) = ^{FM 1} ' + ^{нж г}> +... + f(x,) f(x₂)

Допустим, что

_ 0,1 0,4 0,7 ~1Г ⁺ ~2~ ⁺ ~5~ и f(x) = 2x+ 1. В соответствии с принципом расширения получаем

(3.84)

(3.85)

(3.80)

Рис. 3.20. Графическое представление операций концентрации и разбавления нечеткого множества.

Если Х = {1,2, 3,4} и

0,4 0,7 1 2 3 4

(3.86)

Рассмотрим теперь ситуацию, в которой более чем один элемент множества X отображается в один и тот же элемент у е Y (отображение f не является взаимно однозначным). В такой ситуации степень принад­лежности элемента у к нечеткому множеству В = f(A) равна максимальной степени принадлежности среди тех элементов множества X, которые ото­бражаются в один и тот же элементу. Для иллюстрации этой реализации принципа расширения рассмотрим следующий пример.

то в соответствии с определениями (3.15) и (3.16) получаем

(3.81)

Пример		.15
Если			А =	0,3	0,5	0,7
	-2

(3.87)

(3.82)

3.4. Принцип расширения

Принцип расширения позволяет перенести (расширить) различ­ные математические операции с четких множеств на нечеткие множест­ва. Рассмотрим некоторое четкое отображение f пространства X в прост­ранство Y

(3.83)

f:X-»Y.

Пусть А будет заданным нечетким множеством, определенным в пространстве X, т.е. ЛсХ. Если нечеткое множество А имеет вид (3.3), т.е.

,,

и отображение f является взаимно однозначным, то принцип расширения заключается в том, что генерируемое этим отображением и определен­ное в пространстве Y нечеткое множество 6 имеет вид

и f(x) - x₂, то нечеткое множество В, генерируемое отображением f, рав­но

B = f(A) = -^L- + ^—, (3.88)

9 4

поскольку тах{0,3; 0,7} = 0,7.

Обозначим М(у) множество тех элементов х е X, которые отобра­жаются в элемент у е Y преобразованием f. Если f~¹(y) представляет со­бой пустое множество, т.е. f~\y) = 0, то степень принадлежности элемен­та у к нечеткому множеству В равна нулю. Приведенные рассуждения и иллюстрирующие их примеры позволяют сформулировать следующее определение:

Дата добавления: 2015-06-04