Показать на рисунке напряжения, действующие на координатных площадках х, у, z, с учетом их знака и величины

Вокруг рассматриваемой точки деформируемого тела выбираем элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда (рисунок 1). Его ребра параллельны осям координат х, у, z.

Напряжения показываем по трем видимым граням параллелепипеда. Внешние нормали к этим граням направлены в положительные стороны координатных осей. Поэтому положительные напряжения направлены в положительные стороны координатных осей. Отрицательные напряжения направлены в отрицательные стороны координатных осей. На рисунке 1 все напряжения положительны, кроме и

Правило знаков для нормальных напряжений, не связанное с определенной системой координат: напряжения на координатной площадке положительны, если направления напряжений и внешней нормали к координатной площадке совпадают либо с положительными, либо с отрицательными направлениями координатных осей.

Масштаб для напряжений следует выбрать таким, чтобы касательные напряжения не выходили за пределы граней параллелепипеда.

Задача 3. Расчет инвариантов тензора напряжений

Вычислить инварианты тензора напряжений.

Инвариант - величина, которая не зависит от выбора системы координат. Т. е. инвариант не меняется при повороте осей какой-либо системы координат.

Первый, или линейный инвариант, равен следу матрицы тензора напряжений (т. е. сумме его компонент, расположенных на главной диагонали):

(3)

Второй, или квадратичный инвариант, равен сумме миноров определителя матрицы тензора напряжении при разложении его по главной диагонали:

(4)

Третий, или кубический инвариант, равен определителю матрицы тензора напряжений:

=-1283 (5)

При повороте осей координат мы имеем новые координатные площадки, на которых действуют какие-то другие напряжения . Но составленные из них инварианты не меняются. Тензоры напряжений, в двух выделенных в очаге деформации бесконечно малых частицах равны, если равны между собой их компоненты.

Задача 4. Определение направляющих косинусов новых осей в старой системе координат

Дата добавления: 2015-06-25