Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Задать три угла Эйлера. Вычислить направляющие косинусы новых осей в старой системе координат

Читайте также:
  1. III. Составить штатное расписание соматического отделения при 2-х и 3-х степенной системе обслуживания.
  2. PR в системе менеджмента
  3. Анализ в системе маркетинга. Анализ спроса, рынков сбыта, ценовой политики.
  4. Аналитические выражения для моментов силы относительно осей системы координат.
  5. Арт-терапия, терапия творческим самовыражением в системе психиатрии.
  6. Афганистан в системе региональных отношений после Первой мировой войны
  7. Биосинтез нуклеиновых кислот и белка
  8. Биосинтез нуклеиновых кислот и белка
  9. Биохимических процессов (гидролиза крахмала, белков, пектиновых
  10. Будут обучать Древней Мудрости НОВЫХ ЖРЕЦОВ
  11. Будут обучать Древней Мудрости НОВЫХ ЖРЕЦОВ
  12. Будут обучать Древней Мудрости НОВЫХ ЖРЕЦОВ



Старые оси координат обозначены х, у, z . Новые оси обозначим х', у', z' . Положение новых осей относительно старых однозначно определяется тремя углами Эйлера (рисунок 2).

Угол нутации - между положительными направлениями осей Oz' и Oz ( > 0), =60°.

Угол процессии - между осью Ох и линией пересечения ОА плоскостей хОу и х'Оу'. На линии ОА выбрано положительное направление так, что ОА , Oz , Oz' образуют правую тройку векторов. Угол отсчитывается в направлении от Ох к Оу ( ), =150°.

Угол чистого вращения - между Ох' и ОА ; угол отсчитывается в направлении от Ох' и Оу' ( ), =315°.

Обозначим

(6)

Обозначим далее направляющие косинусы новых осей в старой системе координат так:

l’1=cos(x’,x); m’1=cos(x’,y); n’1=cos(x’,z);

l’2=cos(y’,x); m’2=cos(y’,y); n’2=cos(y’,z);

l’3=cos(z’,x); m’3=cos(z’,y); n’3=cos(z’,z). (7)

Тогда эти направляющие косинусы равны

l’1= c2c3-c1s2s3; m’1= s2c3-c1c2s3); n’1=s1s3;

l’2= -c2s3-c1s2c3; m’2= -s2s3-c1c2c3; n’2=s1c3;

l’3=s1s2; m’3=-s1c2; n’3=c1. (8)

Направляющие косинусы новых осей в старой системе координат (ось z' совпадает с осью z, а оси х', у' повернуты относительно старых осей х, у на угол ):

l’1=cos( ); m’1=cos( ); n’1=cos( );

l’2=cos( ); m’2=cos( ); n’2=cos( );

l’3=cos( ); m’3=cos( ); n’3=1;

Задача 5. Преобразование компонент тензора напряжений к новой системе координат

Найти компоненты тензора напряжений в новой системе координат. Убедиться в правильности расчетов, вычислив инварианты тензора напряжений через его компоненты в новой системе координат.

 

Компоненты тензора напряжений в старой системе координат х, у, z обозначены ( и так далее).

Компоненты тензора напряжения в новой системе координат х', у', z' обозначим ( и так далее). Они выражаются через компоненты тензора напряжений встарой системе координат так

,

где по индексам р и q производится суммирование от 1 до 3. (9)

 

В подробной записи имеем девять формул, так как свободных индексов два — i и j.

Элементы матрицы преобразования В=(bij) равны частным производным новых координат по старым:

(10)

При жестком повороте осей координат новые координаты выражаются через старые так:

x’=l’1x+m’1y+n’1z;

y’=l’2x+m’2y+n’2z; (11)

z’=l’3x+m’3y+n’3z.

 

Тогда элементы матрицы преобразования В равны:

 

; ; ;

; ; ;

; ; .

 

Итак, элементы матрицы преобразования В равны направляющим косинусам новых осей х', у', z' относительно старых осей х, у, z:

 

(12)

 

Тогда, например, по формуле (9) найдем:

=



.

 

=

.

 

Формулу (7) можно записать в матричной, безиндексной форме:

, (14)

где - транспонированная матрица. Матрицу получим, поменяв местами строки и столбцы в матрице В.

.

Инварианты тензора напряжений I’1, I’2, I’3 через его компоненты в новой системе координат вычислим по формулам (3) – (5) для I’1, I’2, I’3, заменив в них на .

I’1=7,

I’2=-169,

I’3=-1283.

Вычисления по формулам (9) выполнены верно, т.к I1=I’1, I2=I’2, I3=I’3.

 

Задача 6. Вычисление главных нормальных и главных касательных напряжений.

Вычислить главные нормальные и главные касательные напряжения. Убедиться в правильности расчетов, вычислив инварианты тензора напряжений через главные нормальные напряжения.

 

Напряжения действующие на три взаимно перпендикулярные главные площадки, перпендикулярные главным осям тензора напряжений, называют главными нормальными напряжениями.

В точке М всегда можно выбрать такую прямоугольную декартову систем координат , , , в которой уравнение тензорной поверхности Tijdxidxj=Tijdx’idx’j =С примет канонический вид . Такая прямоугольная декартова система координат называется главной системой координат тензора Т в точке М. Оси , , называются главными осями тензора. Единая для всего деформируемого тела главная система координат может быть введена, если тело однородное, и на всех его точках действуют одинаковые напряжения.

 

 

Главные нормальные напряжения , , равны корням кубического уравнения

(15)

 

Кубическое уравнение решим методом тригонометрических подстановок. В начале приведем его к каноническому виду, когда коэффициент при квадрате неизвестного равен нулю. С этой целью заменим:

 

, (16)

где t - новая переменная.

Получим:

(17)

Раскроем скобки и сформируем коэффициенты при t3 (он равен единице), при t2 (он равен нулю), при t (обозначим его Зр), а также свободный член (обозначим его 2q). Итак, получим кубическое уравнение

t3+3pt+2q=0 (18)

р = -61,7778

q = 431,6269

 

Вычислим . Знак r должен совпадать со знаком q

r = 485,5662

 

Вычислим далее вспомогательную величину

cos = q / r3 (19)

=2,6658

 

Тогда корни кубического уравнения равны:

(20)

;

;

.

Так как , то , а . Здесь максимальный, а минимальный корни кубического уравнения.

;

;

.

Главные касательные напряжения равны полуразностям главных нормальных напряжений, и действуют на площадках, параллельных главным осям и равнонаклоненных к ним:

, (21)

где — максимальное главное касательное напряжение.

 

Инварианты тензора напряжений через главные нормальные напряжения вычислим по формулам:

(22)

Если они совпадают с инвариантами, найденными в задаче 3 по формулам (3)-(5), главные нормальные напряжения вычислены правильно.

Задача 7. Построение главного куба напряжений





Дата добавления: 2015-06-25; Просмотров: 194; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.80.77.124
Генерация страницы за: 0.022 сек.