Приведение системы сил к центру. Условия равновесия

6.1 Теорема о параллельном переносе силы

Равнодействующая системы сходящихся сил непосредственно находится с помощью закона параллелограмма сил. Очевидно, что аналогичную задачу можно будет решить и для произвольной системы сил, если найти для них метод, позволяющий перенести все силы в одну точку. Такой метод дает следующая теорема: силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.

Этот метод был предложен французским ученым Пуансо (1777-1859 г.), и называется приведением силы к заданному центру. Пусть на твердое тело действует сила , приложенная в точке A (рисунок 6.1 а))

Рисунок 6.1

Действие этой силы не изменяется, если в любой точке B тела приложить две уравновешенные силы и , такие, что ; . Полученная система трех сил и представляет собой силу , равную , но приложенную в точке B, и пару , с моментом

(6.1)

Равенство (6.2) следует из формулы (5.7). Таким образом, теорема доказана. Результат, даваемый теоремой, можно еще изобразить так, как показано на рисунке 6.1 б), силу на этом рисунке надо считать отброшенной. Точку B, куда переносится сила, часто называют точкой приведения.

Пусть на твердое тело действует произвольная система сил, (рисунок 6.2 а). Выберем произвольную точу O за центр приведения и, пользуясь доказанной выше теоремой, перенесем все силы в центр O, присоединяя при этом соответствующие пары (рисунок 6.2 б). Тогда на тело будет действовать система сил:

… (6.2)

приложенных в центре O, и система пар, моменты которых согласно формуле (6.1), равны:

(6.3)

(Силы переносятся параллельно самим себе и равными по модулю).

Рисунок 6.2

Сходящиеся в точке O силы заменяются одной силой , приложенной в точке O. При этом

(6.4)

Чтобы сложить все полученные пары, надо сложить векторы моментов этих пар. В результате система пар заменится одной парой, момент которой:

(6.5)

т.е. .

Величина , равная геометрической сумме всех сил, называется главным вектором системы сил; величина , равная геометрической сумме моментов всех сил относительно центра O, называется главным моментом системы сил относительно этого центра.

Таким образом, любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно выбранному центру O заменяется одной силой, , равной главному вектору системы сил и приложенной в центре приведения O, и одной парой с моментом , равным главному моменту системы сил относительно центра O (рисунок 6.2 б).

Следует отметить, что сила не является равнодействующей даннойсистемы сил, так как заменяет систему сил не одна, а вместе с парой.

Из рассмотренного следует, что две системы сил, имеющие одинаковые главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра, эквивалентны (условие эквивалентности сил).

Отметим также, что значение от выбора центра O не зависит, а значение при изменении положения центра O, может в общем случае изменяться вследствие изменения значений моментов отдельных сил. Поэтому всегда необходимо указывать, относительно какого центра определяется главный момент.

Рассмотрим в заключение два частных случая:

1) если для данной системы сил ; , то она приводится к одной паре сил с моментом . В этом случае значение не зависит от центра O, так как иначе получилось бы, что одна и та же система сил заменяется разными, но эквивалентными друг другу парами, что невозможно.

2) если для данной системы сил , а , то она приводится к одной силе, т.е. равнодействующей, равной и приложенной в центре O.

Дата добавления: 2015-06-04