Демонстрационные примеры. Вопросы для теоретической подготовки

Вопросы для теоретической подготовки

Тема 12. Двумерные непараметрические методы

Ø Цель: научить устанавливать корреляционную зависимость между случайными величинами с произвольным законом распределения.

1. Как анализируется зависимость между двумя генеральными совокупностями непараметрическими и свободными от распределения методами?

2. Как определяется выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверяется гипотеза об отсутствии ранговой корреляционной связи между двумя генеральными совокупностями?

3. В каком случае рассматривается выборочный коэффициент конкордации Кендалла, и как проверяется гипотеза об отсутствии согласованности между несколькими генеральными совокупностями?

4. Как определяется выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла и проверяется гипотеза об отсутствии ранговой корреляционной связи между двумя генеральными совокупностями?

Пример 1. Для выяснения наличия зависимости при уровне значимости a = 0,05 между весами отливок до (X) и после (У) обработки исследовалась предварительная выборка, включающая n = 12 отливок. Результаты наблюдения веса отливок в килограммах приведены в таблице 19.

Таблица 19

Х

У

Решение. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена можно рассматривать как первую оценку тесноты связи между переменными X и Y. Проранжировав в отдельности множества значений, относящихся к каждой переменной, получим следующие пары рангов переменных (таблица 20).

Таблица 20

				4,5		4,5	9,5				9,5
		-1		-0,5	-2	1,5	-2,5		-2		1,5

Разности рангов приведены в третьей строке таблицы 20. Вычислим сумму квадратов этих разностей . Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена вычисляется по формуле

.

С помощью таблицы критических значений коэффициента ранговой корреляции Спирмена (приложение К) согласно числу степеней свободы n = 12 и уровню значимости a = 0,05 находим R_кр = 0,591. Так как , то выборочный коэффициент ранговой корреляции отличаются от нуля значимо на уровне a, а гипотеза об отсутствии ранговой корреляции между двумя переменными Х,У не согласуется с данными выборки.

Пример 2. Двенадцать пар участников соревнования по фигурному катанию на льду оценивались шестью членами жюри. В результате оценки пара получала определенное место по мнению каждого члена жюри. Результаты оценок приведены в таблице 21.

Таблица 21

Номер пары	Члены жюри	Сумма мест	Откло-нение
								–4
								–20
								–26
								–8
								–16
								–22

Необходимо проверить, согласованы ли оценки членов жюри с уровнем значимости a = 0,05.

Решение. Общей мерой согласованности оценок членов жюри является коэффициент конкордации Кендалла, наблюдаемое значение которого вычисляется по формуле

,

где Х_i – сумма мест i -й пары; – средняя сумма мест; k – количество членов жюри; N – число пар. Отклонения Х_i – сумм мест от средней суммы = 39 приведены в таблице 21. Коэффициент конкордации при k = 6 и N = 12 равен

.

Гипотеза о несогласованности оценок проверяется с помощью критерия Фишера-Снедекора, наблюдаемое значение которого вычисляется по формуле

.

С помощью таблицы критических точек распределения Фишера-Снедекора (см. приложение Д) согласно уровню значимости a = 0,05 и числам степеней свободы k ₁ = N – 1 = 11, k ₂ = (N – 1)(k – 1) – 2 = 53 находим критическую точку распределения F_кр = 1,99. Так как , то наблюдаемые оценки противоречат гипотезе о их несогласованности при уровне значимости a = 0,05. Другими словами, согласие членов жюри в оценке 12 пар фигуристов реально существует.

Пример 3. Рассматривается выборка, содержащая пять пар наблюдений значений переменных X; Y: (2,1; 3,7) (4,5; 4,3) (3,7; 5,2) (3,5; 4,1) (2,5; 3,8). С помощью ранговой корреляции Кендалла оценить при уровне значимости a = 0,05 гипотезу об отсутствии корреляционной связи между этими переменными.

Решение. Вычислим ранги рассматриваемых значений: (5; 5) (1; 2) (2; 1) (3; 3) (4; 4). Расположив ранги X в порядке возрастания, получим следующую последовательность рангов для значений Y

у ₁ у ₂ у ₃ у ₄ у ₅ = 2 1 3 4 5.

Допустим, что правее ранга у_i имеется R_i рангов, больших у_i. Тогда получим

R ₁ R ₂ R ₃ R ₄ = 3 3 2 1

Обозначим сумму через R = R ₁ + R ₂ + R ₃ + R ₄ = 9. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла определяется по формуле

,

где n = 5 – объем выборки. Для того чтобы при уровне значимости a проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции t _Г = 0 при конкурирующей гипотезе Н ₁: t _Г ≠ 0, надо вычислить критическую точку

,

где z_кр – критическая точка двусторонней критической области, которая находится с помощью таблицы значений функции Лапласа (приложение Б) и равенства

.

Следует заметить, что в случае малого объема выборки n < 10 критическая точка умножается на поправочный коэффициент

.

Таким образом, и нулевую гипотезу отвергаем. Между переменными X; Y существует значимая ранговая корреляционная связь.

Задания для самостоятельного решения

1. С помощью рангов объектов выборки объема n = 10:

Таблица 22

Х’
У’

найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверить при уровне значимости 0,05 является ли ранговая корреляционная связь значимой (R’ = 0,32 < R_кр = 0,648).

2. С помощью рангов объектов выборки объема n = 10:

Таблица 23

Х’
У’

найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла и проверить при уровне значимости 0,05, является ли ранговая корреляционная связь значимой ().

3. С помощью рангов объектов выборки объема n = 10:

Таблица 24

Х’
У’

найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла и проверить при уровне значимости 0,05 является ли ранговая корреляционная связь значимой ().

4. Двенадцать пар участников соревнования по фигурному катанию на льду оценивались шестью членами жюри. В результате оценки пара получала определенное место по мнению каждого члена жюри. Результаты оценок приведены в таблице 25.

Таблица 25

Номер пары	Члены жюри

Необходимо проверить, согласованы ли оценки членов жюри при уровне значимости a = 0,05. ().

Дата добавления: 2015-06-25