Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Демонстрационный пример




Вопросы для теоретической подготовки

Тема 9. Элементы теории корреляции

Ø Цель: научить устанавливать корреляционную зависимость между двумя нормальными случайными величинами.

1. Какая зависимость называется корреляционной и чем она отличается от функциональной?

2. Компоненты двумерной случайной величины и их числовые характеристики: условные плотность и математическое ожидание.

3. Корреляционный момент и коэффициент корреляции, их вероятностный смысл и свойства.

4. Выборочное уравнение прямой линии регрессии и его числовые характеристики.

5. Выборочное уравнение нелинейной регрессии. Метод выравнивания зависимости.

Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X согласно протоколу наблюдений двумерной выборки (хii), i = 1, …,100, приведенному в таблице 3.

 

Таблица 3

Х У Х У Х У Х У Х У
21,47             23,93   48,01
  45,48 24,14   28,64 46,61 34,03 36,02   26,91
24,23   19,85 18,02   23,01 23,74 17,85 29,24 43,37
  53,39 18,53 19,46 30,07 43,17 28,5 36,29 36,81 45,36
  46,96   41,89 32,4 37,49 31,17   35,28 57,47
  27,11 29,95     55,72 29,95 38,19    
24,13   28,45   35,18 40,14   28,62 23,83 15,5
  31,25   32,38   49,12 30,66     24,51
  35,26   31,64   36,74        
  25,3     28,5 32,09 30,25     35,33
  34,94   57,79 29,8 33,71     35,47  
29,5 31,62 30,97       19,52 18,32    
36,09           26,49 23,73 38,5 42,65
31,13 27,67   38,74 28,84   39,5   35,89  
32,06 22,49 34,9 44,15   45,67     33,71 45,63
  32,91     27,5 39,26 30,33 38,59    
31,84   32,19 39,54 40,36 33,36 30,43 28,75 40,5 40,32
  39,56 34,19 35,6   36,47     33,18 43,88
30,5 38,23 36,38 44,08 30,5 39,66 22,73 20,05    
  29,35 28,58 30,05 35,59 47,63 36,21 47,95    

Решение. Наблюдения двумерной выборки в виде 100 точек с координатами (хii) изображаются на координатной плоскости и заключаются в прямоугольник, который разбивается на прямоугольные клетки со сторонами hx и hy подобно тому, как разбивается отрезок на k интервалов в примере 1 темы 8. На рисунке 6 выбрано k = 5, а шаги hx = = 5, hy = 10.

Рисунок 6 – Группировка наблюдений двумерной выборки

Количество точек, попавших в клетку, отмечено в выносках и рассматривается как частота nху центра соответствующей клетки. Если точка расположена на границе, разделяющей две клетки, то она относится к той клетке, в которой находится больше точек. Найденные таким образом значения частот приведены в клетках корреляционной таблицы 4, обведенных двойной линией. Сверху и слева указаны соответствующие координаты центра клетки (варианты Х, У), а снизу и справа – суммарные частоты вариант.

Таблица 4

У X ny
         
      - - -  
  -     - -  
  - -        
  - -        
  - - -      
nx           n = 100

 

Для каждой случайной величины X и У вводятся условные варианты u и v подобно тому, как это делается в примере 2, рассмотренном в теме 8. Составим корреляционную таблицу 5 в условных вариантах

Таблица 5

v u nv U=Snuvu vU
–2 –1      
–2 –8 –6         –14  
–1   –8         –8  
                 
                 
                 
nu             S vU = 82

Методом произведений (см. таблицу 2) найдем выборочные средние:

Выборочные средние квадратические отклонения условных вариант u и v найдем по формулам:

Затем проверяется гипотеза о нормальном распределении генеральных совокупностей X и У (см. пример 1, тема 10). Только после этого отыскивается выборочный коэффициент корреляции.

Произведение частоты nuv на варианту u, то есть nuvu, записывают в правом верхнем углу клетки таблицы 5, содержащей частоту nuv. Например, в правых верхних углах клеток первой строки записаны произведения: 4(–2) = –8; 6(–1) = –6. В предпоследнем столбце приведены значения U=Snuvu, которые получаются суммированием по строкам чисел в правых верхних углах. В последнем столбце приведены произведения числа U и соответствующего числа v. Суммируя числа последнего столбца найдем Snuvuv = S vU = 82.

Выборочный коэффициент корреляции найдем по формуле

Поскольку значение rв > 0,196, то с уровнем значимости 0,05 можно утверждать о зависимости У от Х. Если это условие не выполняется, то можно принять гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости с отмеченным уровнем значимости (см. задачу 5, тема 10).

Найдем выборочные средние , учитывая, что шаги hx = 5, hy = = 10, а ложные нули Сх = 30; Сy = 36:

Затем найдем выборочные средние квадратические отклонения:

s x = hx s u = 5 ×1,07 = 5,35; s y = hy s v = 10 ×1,02 = 10,2.

Подставим найденные величины в уравнение регрессии Y на X

или окончательно График полученной корреляционной зависимости приведен на рисунке 6. Этот график разбивает облако данных на две симметричные части и наилучшим образом приближает эти данные.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-06-25; Просмотров: 342; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.019 сек.