КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Простейшие типы дифференциальных уравненийОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, которое помимо неизвестных функций содержит их производные (или дифференциалы). Если неизвестные функции, входящие в ДУ, зависят только от одной независимой переменной, то ДУ называется обыкновенным ДУ (ОДУ). Другими словами: пусть - независимая переменная, - искомая функция, - заданная функция переменных. Уравнение , (1.1) где называется обыкновенным дифференциальным уравнением относительно функции на промежутке . Если , то число n называется порядком уравнения (1.1). Функция называется частным решением ОДУ (1.1), если после замены на , на ,..., на уравнение обращается в тождество на промежутке . (Предполагается, что - достаточно гладкая функция.) Например, функция является решением уравнения на всей оси ОX. В самом деле, подставив в уравнение и , получим тождество: . График решения дифференциального уравнения называется интегральнойкривой этого уравнения. ДУ вида , (1.2) где определена в области D на плоскости XOY, называется ОДУ первого порядка, разрешенным относительно производной. Задачей Коши называют задачу нахождения решения уравнения (1.2), удовлетворяющего начальному условию , где . Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку . Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Пусть дано дифференциальное уравнение , где функция определена в некоторой области D плоскости XOY, содержащей точку . Если функция удовлетворяет условиям: а) есть непрерывная функция двух переменных и в области D, б) имеет частную производную , ограниченную в области D; то найдётся интервал , на котором существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условию . Теорема даёт достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения , но эти условия не являются необходимыми, т.е. может существовать единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию , хотя в точке не выполняются условия а) или б). Пример 1.1. . Здесь не существует при . Условие б) не выполняются, так как частная производная имеет разрыв при (на оси OX). Тем не менее, через каждую точку оси проходит единственная интегральная кривая . Вместе с тем, совсем отбросить условие б) нельзя. Пример 1.2. , . Частная производная не ограничена при , т.е. условие б) не выполнено. Рассматриваемая задача Коши имеет два решения и , что проверяется подстановкой в уравнение.
Общим решением дифференциального уравнения называется функция , зависящая от одной произвольной постоянной С, если 1) функция удовлетворяет дифференциальному урав-нению при любых допустимых значениях С; 2) для любого частного решения уравнения (1.2) можно подобрать постоянную C, такую, что на . Общим интегралом ОДУ (1.2) называется соотношение вида , если функция , найденная из него, есть общее решение ОДУ (1.2). Функция трех переменных считается определенной на множестве , . Общее решение дифференциального уравнения определяет в плоскости XOY семейство интегральных кривых, зависящих от произвольной постоянной С. Частному решению соответствует фиксированная интегральная кривая. Пример 1.3. Проверить, что функция есть общее решение дифференциального уравнения и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Дать геометрическое истолкование результата. Решение. Функция удовлетворяет данному дифференциальному уравнению при любых значениях постоянной С, так как . Полагая и , получим частное решение . Общее решение определяет в плоскости XOY семейство параллельных наклонных прямых с угловым коэффициентом , частное решение определяет наклонную прямую, проходящую через начало координат. Уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида называется уравнением с разделенными переменными. Уравнение вида: называется уравнением с разделяющимися переменными. Делением на произведение оно приводится к уравнению с разделенными переменными . Замечание. Деление на произведение может привести к потере частных решений, обращающих в нуль произведение . Пример 1.4. . Решение. Разделив обе части уравнения на , получим , уравнение с разделёнными переменными. Интегрируя его, получим . После потенцирования получим . Обозначая , будем иметь общий интеграл в таком виде: , или При делении на могли быть потеряны решения, обращающие в нуль это выражение, именно и . Непосредственной подстановкой в дифференциальное уравнение убеждаемся, что и являются решениями уравнения. Окончательный ответ будет таким:
Рассмотрим примеры. (Буква Б перед номерами задач означает, что пример из задачника Бермана.) Б. 3903. Найти общее решение уравнения: Запишем уравнение в таком виде: . Интегрируя, получим общее решение уравнения , ,
Однородные уравнения. Дифференциальное уравнение называется однородным, если его можно представить в виде . Вводя новую переменную имеем , В уравнении можно разделить переменные: Пример 1.5. . Решение. Пусть , или , Тогда Подставляя в уравнение и , получим . Разделив переменные, проинтегрируем или , а так как , то, обозначая , получаем , где . После обратной замены переменных получим или При разделении переменных имело место деление на выражение , что могло привести к потере решений, обращающих в нуль это выражение. Здесь - независимая переменная, а из следует , откуда . Проверкой убеждаемся, что функции и также являются решениями дифферен-циального уравнения, поэтому общее решение: , , . Б. 3935. Найти общее решение уравнения . Это уравнение является однородным. Положим , тогда . Подставив в уравнение, получим Это - уравнение с разделяющимися переменными. После простых преобразований имеем: . В результате интегрирования . Возвращаясь к старым переменным, находим , C > 0. Б. 3937. Это - однородное уравнение. Замена переменных , позволит разделить переменные
(В числителе первого интеграла прибавили и вычли и разделили почленно.) После интегрирования имеем:
Возвращаясь к старым переменным, получим .
Дифференциальное уравнение следующего вида: , где - постоянные, а - непрерывная функция, может быть приведено к однородному. Если , то уравнение является однородным и интегрируется, как рассмотрено ранее. Если же хотя бы одно из чисел или отлично от нуля, то дифференциальное уравнение приводится к однородному подстановкой , где и - решения системы уравнений при . Если же определитель системы равен нулю, то коэффициенты при неизвестных и пропорциональны и дифференциальное уравнение имеет вид . Подстановка приводит его к уравнению с разделяющимися переменными. Пример 1.6. . Решение. Рассмотрим систему линейных уравнений: Определитель системы: . Решение системы: . Замена переменных , приводит дифференциальное уравнение к виду . Уравнение - однородное. Пусть тогда и , откуда следует: . Разделим переменные: . Интегрируя, получим или . Подставив в последнее выражение , имеем: . Возвратившись к исходным переменным ; получим: . Пример 1.7. . Решение. Система линейных алгебраических уравнений несовместна. Применим подстановку , тогда и уравнение примет вид . После разделения переменных: откуда , и, после перехода к исходным переменным, , .
2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ Линейным дифференциальным уравнением первого порядка назы-вается уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной первого порядка . Оно имеет вид: , , (2.1) где и - известные функции независимой переменной , непрерывные на промежутке . Если , то уравнение (2.1) называется линейным однородным, исходное же уравнение (2.1) с правой частью называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Однородное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение такого вида: . Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что реше-ние ищется в виде , (2.2) где - неизвестная функция от . В результате подстановки (2.2) в уравнение (2.1) получаем дифференциальное уравнение, интегрируя которое, удаётся найти функцию .
Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 636; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |