Пример 3.1

ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ

УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ.

Дифференциальное уравнение

(3.1)

называется уравнением в полныx дифференциалаx, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции , т.е.

Теорема. Пусть функции

,

непрерывны в односвязной области D плоскости XOY. Выражение есть полный дифференциал только тогда, когда выполнено условие

в D. (3.2)

. (3.3)

Решение. Проверим, является ли (3.3) уравнением в полных дифференциалах:

=

=

следовательно, , т.е. данное уравнение - в полных дифферен-циалах и , поэтому

= .

Частную производную найденной функции приравняем Q(x,y) = cos xy,

что даёт

cos xy + f' = cos xy,

откуда следует:

; , и .

Общий интеграл уравнения:

, .

При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получатся легко интегрируемые комбинации. В частности, можно выделять полные дифференциалы, используя известные формулы:

, , и т.п.

Дата добавления: 2015-06-04