Ефект Штарка в атомі водню

Ефект Штарка – це розщеплення енергетичних рівнів атомів під впливом зовніш­нього електричного поля. Дослідимо цей ефект для атома водню. Накла­демо на атом водню постійне зовнішнє однорідне електричне поле напру­же­ності . Оператор енергії взаємодії атома водню із зовнішнім полем має вигляд

, (9.23)

де – електричний дипольний момент, – радіус-вектор електрона.

Якщо направити віcь z декартової системи вздовж вектора , тоді оператор Ґамільтона атома водню у зовнішньому полі матиме вигляд:

, (9.24)

де θ – кут між віссю Oz і радіус-вектором . Кількісну зміну енергетичних рів­нів атома водню під впливом зовнішнього електричного поля розрахуємо мето­дом збурень у випадку виродження. Оператор будемо розглядати як опера­тор збурення.

Твердження. В атомі водню внаслідок виродження енергетичних рівнів спосте­рігається лінійний ефект Штарка, тобто зсув енергетичних рівнів (вирод­же­них атомних рівнів) під впливом електричного поля пропорційний до напру­же­ності .

Доведення. Розглянемо, для прикладу, перший збуджений рівень атома вод­ню з головним квантовим числом n =2. У цьому випадку енергії від­по­відають чотири хвильові функції:

; ; ; . (9.25)

Хвильові функції в теорії атома водню представляємо у вигляді

, (9.26)

де відомі нам сферичні функції Y_lm представляються у вигляді добутку:

. (9.27)

Розрахуємо потрібні нам матричні елементи

. (9.28)

Символ Кронекера у формулі (9.28) виникає в результаті інтегрування по азимутальних ку­тах :

. (9.29)

Як бачимо (див. також практичне завдання на цю тему), відмінними від нуля є лише два матричні елементи:

. (9.30)

Отже, рівняння для зсуву у нашому випадку має вигляд:

. (9.31)

Розкриваючи визначник, ми знаходимо рівняння четвертого порядку для зсуву енер­гії . Розв’язки цього рівняння мають вигляд:

; ; ; . (9.32)

Наявність кратних коренів , означає, що виродження знімається ли­ше частково:

, , . (9.33)

Зауваження. З теорії атома водню функції , , , відо­мі, тому матричні елементи і можна обчислити, взявши відповідні ін­теграли у виразах для і . Одержимо: , де .

Дата добавления: 2015-06-04