Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Принцип тотожності у квантовій механіці




Системи тотожних частинок

 

Всі основні принципи, постулати та рівняння квантової теорії мають місце у квантовій механіці незалежно від того, розглядається кван­то­ва система, що складається з однієї частинки, чи з сукупності частинок. Але при розгляді багаточастинкових квантових систем однакових (тотожних) частинок – систе­ми додатково виявляють деякі специфічні особливості прин­ци­пового характер­у, які не мають аналога у класичній механіці. Які це тотожні частинки? Це частинки, що мають однакову масу, заряд, спін та всі інші характеристики, а також поводяться однаково в тих самих умо­вах, полях. Чи можна в принципі простежити за окремою такою частин­кою системи, чи можна розрізнити тотожні частинки? У класичній меха­ні­ці за класичними частинками можна простежити та розрізнити їх. Адже класич­ні частинки рухаються кожна по своїй траєкторії. Через це вони не втра­ча­ють своєї індивідуальності.

У квантовій механіці все по-іншому. Адже тут поняття траєкторії не має змісту. Че­рез це у квантовій механіці немає жодної змоги розрізнити тотожні частинки. Щоб наочно переконатися у цьому, ми розглянемо квантову систему з двох невзаємо­діючих між собою тотожних частинок. Позначимо через і хвильові функці, що описують фізичні стани цих частинок. Тут і – різні набо­ри квантових чисел, які ідентифікують фізичні стани. Через познача­ти­мемо хвильову функцію системи двох наших частинок. Зобразимо схематич­но на площині (див. рис. 1) носії*) і . Нехай у початковий мо­мент часу ці носії локалізовані кожний у своїй області, які не перекривають­ся.

Рис. 1. Носії хвильових функцій у початковий момент часу і у момент .

 

Але у наступні моменти часу два носії хвильових функцій і «роз­пли­ваються» і можуть вже перекриватися. Отже, «виловивши» частинку в мо­мент , коли має місце перекривання носіїв і нумерація частинок внаслі­док цього переплутується, ми не зможемо ідентифікувати, яку з двох то­тож­них частинок «виловлено». Як наслідок тотожності частинок, розподіли і співпадають, тобто, виконується рівність: для всіх , ,

що і є математичним формулюванням так званого принципу тотожності части­нок. Тут є хвильовою функцією системи двох тотожних частинок після переста­новки цих частинок місцями. Звідси випливає, що хвильова функція систе­ми двох тотожних частинок з точністю до фазового множника збігається з вихід­ною функцією :

Знайдемо значення фази . Введемо оператор перестановки частинок такий, що

Отже,

є рівняння на власні значення та власні функції оператора . Подіємо на це рівняння ще раз оператором :

З іншого боку

Отже виходить, що

або

, ,

Тобто , а власне значення оператора є

Таким чином, остаточно,

Висновок. Після перестановки двох тотожних частинок хвильова функція двочастинкової систе­ми може змінювати тільки знак. Зауважимо, що позна­чен­ням у аргументі хвильової функції виражена її залежність як від просторо­вих , так і від спінових координат: .

Результат. При перестановці будь-яких двох частинок у сукупності то­тожних частинок хвильова функція або не змінює знак, або змі­нює його на протилежний. Отже, хвильова функція системи тотожних частинок є або симетричною, або антисиметричною.

Твердження. , де – Ґамільтоніан системи двох тотожних частинок.

Доведення. У квантовій механіці Шредінґера . Отже

Висновок. Оператор перестановки комутує з Ґамільтоніаном і, отже, він є інтегралом руху. Властивість зберігається з часом!


 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 675; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.