Встанем на точку зрения игрока В. Рассуждая аналогично, он будет выбирать стратегию из условия

Наличие у каждого игрока конечного числа ходов, называемых также чистыми стратегиями. Каждый игрок знает чистые стратегии соперника, но не знает какую чистую стратегию тот применит.

Наличие двух игроков А и В, с противоположными целями. Поэтому игру и называют антагонистической.

Методы теории игр позволяют принимать управленческие решения в конфликтных ситуациях. Эта теория оказались весьма продуктивной для исследования многих практических задач. Начав с анализа карточных, спортивных игр, исследователи перешли к выбору эффективных стратегий в бизнесе, в теории инвестирования, в страховании, в психологии, медицине, в военном деле.

В 1994 году Нобелевская премия в области экономики былы присуждена американским ученым Джону Нэшу и Джону Хартшаньи в трудах которых был создан математический аппарат для некоторых классах игр. В 2005 году Нобелевская премия в области экономики присуждена американцу Томасу Шеллингу за обогащение на шего понимания природы конфликтов при помощи аппарата теории игр. Наконец, в 2007 году Нобелевскими лауреатами стали американские профессора Гурвиц, Маскин и Майерсон за создание теории рыночного механизма с помощью теории игр.

Конечной целью исследования (решения) любой игры является нахождение оптимальных стратегий игроков и выигрышей, соответствующих этим стратегиям. Многие методы решения игр предполагают применение моделей линейного программирования.

Наиболее изучены игры двух лиц с нулевой суммой. Это означает:

3. Игроки независимо выбирают чистые стратегии (ходы), после чего игра (партия) заканчивается и каждому игроку выплачивается выигрыш, причем сумма выигрышей равна нулю.

4. Все возможные выигрыши а_ij игрока А сосредоточены в платежной матрице:

Почему нет матрицы игрока В?

Номера строк матрицы отождествляются с чистыми стратегиями игрока А, а номера столбцов – с чистыми стратегиями игрока В.

Как же должны действовать игроки?

Рассмотрим пример платежной матрицы:

Если игрок А выберет 1-й ход, то в наихудшем для него случае игрок В сделает 3-й ход. Если игрок А сделает 2-й ход, то игрок В ответит 1-м ходом и т.д. Предвидя подобное, игрок А будет стремиться максимизировать минимальный выигрыш (получить, хотя бы что-то). Т.е. выбирать чистую стратегию из условия: max_i (min_j a_{i j}) (практически - в каждой строке матрицы ищется минимум и из них выбирается максимум).

Обозначим α = max_i (min_j a_{i j}) и назовем нижней ценой игры. Нижняя цена, очевидно, гарантирует игроку А выигрыш не меньший α.

min_j (max_i a_{i j}).

Обозначим β = min_j (max_i a_{i j}) и назовем верхней ценой игры.

(практически - в каждом столбце матрицы ищется максимум и из них выбирается минимум).

Верхняя цена гарантирует игроку В, таким образом, проигрыш не больший β.

Заметим, что в нашем примере α = β = 4. Подобную игру называют игрой с седловой точкой (она выделена красным в платежной матрице). Общее значение α и β называется ценой игры v.

Стратегии, соответствующие седловой точке (3-я для А и 2-я для В) и будут оптимальными- они выгодны для обеих сторон. Почему?

Дата добавления: 2015-06-04