Итак, смешанная стратегия игрока А это вектор

Стратегия 1 компании А приведет к положительному результату (т.е. к нарушению переговоров компании В с возможными инвесторами) с вероятностями 0,7, 0,5, 0,3, соответственно. Для стратегии 2 эти вероятности 0,6, 0,9, 0,4.

Составим платежную матрицу (таблицу):

				α
	0,7	0,5	0,3	0,3
	0,6	0,9	0,4	0,4
β	0,7	0,9	0,4

α= 0,4, β= 0,4 – игра с седловой точкой (2,3), цена игры v=0,4.

Вывод: оптимальной чистой стратегией игрока А является предоставление компрометирующих материалов и тогда вероятность успеха компании А будет не меньше 0,4. Оптимальная чистая стратегия игрока В - ведение переговоров только с инвестором В₃ и тогда вероятность неудачи будет не больше 0,4.

Замечание: наличие в игре седловой точки и, стало быть, цены - далеко не правило, скорее исключение. Многие игры нельзя решить в чистых стратегиях

(α # β)- нет седловой точки! Однако существует метод, который позволяет для всякой матричной игры с нулевой суммой обеспечить наличие оптимальных стратегий в некотором обобщенном смысле. Этот метод был предложен основателями теории игр математиком Джоном фон Нейманом и экономистом Оскаром Моргенштерном еще в 1944 году.

Понятие смешанной стратегии. Графический метод решения игры.

Пусть платежная матрица игры с нулевой суммой, причем α # β.

Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой:

α = -1, β=1 → седловой точки нет!

Итак, гарантированный выигрыш игрока А составит -1. Можно ли его повысить?

Фон Нейман предложил выбирать ходы (чистые стратегии) случайным образом с определенными вероятностями. Набор этих вероятностей он назвал смешанной стратегией игрока (разумеется сумма вероятностей равна 1). Нахождение этих вероятностей и является решением игры.

P = (p₁,p₂,….p_m), . Аналогично, смешанная стратегия игрока В это вектор Q = (q₁,q₂,….q_n), .

Очевидно, выигрыш игрока А является случайной величиной, значение которой составит а_ij.

Основная же вероятностная характеристика случайной величины (как известно из теории вероятностей)– математическое ожидание (среднее).

Итак, средний выигрыш игрока А это математическое ожидание выигрыша при условии, что игроки применяют свои смешанный стратегии Р и Q (вспомним математическое ожидание системы случайных величин в теории вероятностей):

H(P,Q) = .

Назовем H (P,Q) выигрыш - функцией.

Пусть в нашем примере смешанная стратегия игрока А:

Р = (1/2, 1/2). Тогда, если, например, второй игрок В выберет смешанную стратегию Q=(1,0), то платежная матрица примет вид:

Q
1/2		-1
1/2	-1

математическое ожидание выигрыша игрока А: H(P,Q) = 1* (1/2) + (-1)*(1/2) = 0 → все же лучше, чем -1 Итак, случайность выбора ходов повышает шансы игрока на успех (увеличивает выигрыш!), хотя бы в среднем.

Дата добавления: 2015-06-04