Пусть игрок А имеет две чистых стратегии

Смешанные стратегии в теории игр представляют собой модель изменчивой, гибкой тактики, когда ни один из игроков не знает, как поведет себя противник в данной партии. Такая тактика (без всяких математических обоснований), кстати, часто применяется в карточных играх.

Ясно, что каждая чистая стратегия может рассматриваться как смешанная стратегия, у которой одна из координат (вероятность) равна 1, а остальные равны 0.

Рассмотрим еще примеры:

1. Пусть дана платежная матрица и смешанные стратегии Р₀=(3/8, 5/8), Q₀=(1/4,0,3/4)

Q	1/4		3/4
3/8		1/2	5/6
5/8		3/4	1/2

H (P₀,Q₀) =

2. Пусть игрок А обладает 4 чистыми стратегиями. Будут ли следующие векторы смешанными стратегиями?

а) (2/3, 5/24, 1/8) –нет, т.к. смешанная стратегия 4-х мерный вектор.

б) (5/12, 5/12, 4/18, 1/18)- нет, т.к. сумма координат не равна 1.

в) (1/5, 3/10, 7/30, 4/15)- да, т.к. все координаты неотрицательны и сумма координат равна 1.

3. Известно, что смешанная стратегия Р= (р₁, р₂, р₃, р₄, р₅) является следующей линейной комбинацией чистых стратегий: Р=0,15(1,0,0,0,0)+0,35(0,1,0,0,0)+0,25(0,0,1,0,0)+0,05(0,0,0,1,0)+0,20(0,0,0,0,1). Найти эту смешанную стратегию.

Ответ: (0,15; 0,35; 0,25; 0,05; 0,20).

Графическая иллюстрация смешанной стратегии

1. Пусть Р= (0; 0,6; 0,4)- тем самым, у игрока А три чистых стратегии. Отметим чистые стратегии точками А₁, А₂, А₃ в системе координат:

Рис. 9.1

Итак, смешанная стратегия, геометрически, это точка на поверхности указанного трехмерного объекта, называемого симплексом (simplex).

Изобразить графически смешанную стратегию Р=(0,3; 0,7).

На рис. 9.2 укажем симплекс, на осях координат отметим точки 0,3 и 0,7 и на прямой А₁А₂ отметим точкой смешанную стратегию:

Рис. 9.2

Какие же смешанные стратегии следует считать оптимальными?

Теорема фон Неймана

Каждая матричная игра с нулевой суммой имеет оптимальное решение в смешанных стратегиях, иначе говоря, существует такое число v (цена игры) и такие смешанные стратегии P^*, Q^* ,что

H(P,Q^*) ≤ v = H(P^*,Q^*) ≤ H(P^*,Q).

Смысл теоремы:

существует такое число v (цена игры), что если игрок А придерживается оптимальной смешанной стратегии, а игрок В- любой (в том числе- чистой стратегии), то математическое ожидание его выигрыша (т.е. средний гарантированный выигрыш) будет не меньше v. Аналогичное утверждение относительно игрока В: математическое ожидание его проигрыша будет не больше v.

Замечание: подчеркнем, в записи теоремы в качестве Р и Q можно (и нужно) использовать чистые стратегии!

Как же практически найти цену игры v и оптимальные смешанные стратегии игроков? Это позволяют указанные в теореме неравенства.

Графический метод

Пример 1.

Решить игру, заданную платежной матрицей:

Рис. 9. 3

Одновременно, обеим неравенствам удовлетворяют точки нижней огибающей. Какое же значение р выбрать игроку А?

Дата добавления: 2015-06-04