Корреляционный анализ

Отличительной чертой лесохозяйственных объектов является многообразие признаков, характеризующих каждый из них. Так, дерево можно характеризовать возрастом, размерами, объемом и т. д. Чем больше размеры дерева, тем обычно больше объем его стволовой части.

Существуют функциональные и коррелятивные зависимости.

Функциональные - это зависимости, при которых каждому конкретному значению независимой переменной (х) соответствует строго определенное значение зависимой переменной (y).

Коррелятивной зависимостью называют зависимость, при которой каждому конкретному значению независимой соответствует множество значений зависимой переменной.

При выявлении корреляционной зависимости могут иметь место тренды различной направленности. Если с увеличением независимой переменной зависимая увеличивается, то зависимость называют прямой корреляционной зависимостью. Есть случаи, когда с увеличением независимой переменной зависимая уменьшается. В этом случае зависимость называется обратной корреляционной зависимостью.

Корреляционный анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты связей между признаками при парной связи и между результативным (изменяющемся под действием других, связанных с ним признаков) и множеством факторных признаков (обуславливающих изменения результативных признаков) при многофакторной связи.

Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляции.

Корреляционная зависимость характеризует лишь прямолинейное изменение. Коэффициент корреляции может принимать значения от - 1 до + 1. При полной прямой корреляции r = + 1, при полной обратной корреляции r = - 1. При r = 0 прямолинейная связь отсутствует (криволинейная связь при этом может наблюдаться).

,

где N – число наблюдений;

S_x, S_y – средние квадратические отклонения распределений x и y.

Для определения значимости коэффициента корреляции необходимо рассчитать его ошибку:

.

Значимость r (коэффициента корреляции) определяется отношением:

.

Вычисленный t_r сравнивается с t – критерием на пяти- и однопроцентном уровне значимости при числе степеней свободы ν = n – 2, где n - объем выборки. Если t_р > t₀₅, то зависимость существенная. А если t_p < t₀₅, то зависимость отсутствует.

Корреляционное отношение – это градация тесноты взаимосвязей по значению r. Наличие криволинейной связи оценивается по корреляционному отношению (η). Вычисляется корреляционное отношение как отношение среднего квадратического отклонения групповых средних S_yx к общему среднему квадратическому отклонению S_y.

.

,

,

где M_y – общее среднее арифметическое; M_yi - групповое среднее арифметическое; f_i – частота ряда x.

Корреляционное отношение показывает, какую часть общей вариации результативного признака составляет вариация частных средних этого признака. Корреляционное отношение имеет всегда положительное значение, изменяющееся от 0 до 1. Когда групповые средние одинаковы, то η = 0 и связь отсутствует. В случае строгой прямолинейной связи (все точки лежат на одной прямой) η = r = 1. Чем ближе η к 1, тем связь теснее. Чем больше различие между η и r, тем связь более криволинейна. В предельном случае, когда связь строго криволинейна и кривая проходит через групповые средние так, что S_yx = S_y, то η = 1, а r = 0.

Значимость корреляционного отношения определяется через ошибку корреляционного отношения

.

.

В заключение t _р сравнивается с t табличным на пяти- и однопроцентном уровне значимости. Если t_р > t₀₅, то нулевую гипотезу отвергают на принятом уровне значимости.

Схема полного корреляционного анализа

Если при обработке информации возникает задача установления связи между двумя величинами, то работу проводят в определенной последовательности:

- на график наносят значения пар (x_i, y_i) для визуальной оценки наличия и тесноты связи;

- если связь явно нелинейная, то вычисляют и оценивают корреляционное отношение η;

- если определенного заключения по графику сделать нельзя, то наряду с корреляционным отношением η вычисляют коэффициент корреляции r, после чего вычисляется мера линейности ε и ее основная ошибка m_ε:

.

.

Величина меры линейности характеризует отклонение связи от прямолинейной. Если ε / m_ε > 2, то гипотезу о нелинейности связи принимают, в противном случае (ε / m_ε < 2) связь приближенно можно считать линейной.

Для более точной оценки наличия криволинейности взаимосвязи пользуются F - критерием линейности корреляции, который сравнивается с табличным при уровнях значимости α = 0, 05 и α = 0,01 при К₁ = К_х – 2 и К₂ = n – 2 степенях свободы.

F_р =((η² – r²) × (n – К_x)) / ((1 – η²) × (К_x – 2)),

где η² – квадрат корреляционного отношения y по x; r² – квадрат линейной корреляции; n – объем выборки; К_x – число групп по ряду х.

Гипотеза о прямолинейности взаимосвязи отвергается, если F_р > F_т при уровне значимости α = 0,01 и принимается, если F_р < F_т при α = 0,05.

В природных, биологических объектах во всем диапазоне закономерных изменений зависимой переменной от независимой, как правило, проявляется криволинейность.

5.1. Расчё показателей корреляции на примере малой выборочной совокупности

Расчет вспомогательных величин для вычисления коэффициента корреляции приведен в таблице 5.1.

Таблица 5.1 Расчет вспомогательных величин для коэффициента корреляции

Значение признака	xi^2	yi^2	xi × yi
Диаметр, хi, см	Высота, yi, м
16,2	17,5	262,44	306,25	283,50
29,7	21,3	882,09	453,69	632,61
20,8	22,7	432,64	515,29	472,16
И т.д	…	…	…	…
∑ xi 613,4	∑ yi 583,8	∑ xi^2 14047,96	∑ yi^2 12003,78	∑ xi × yi 12769,18

Вычисление вспомогательных величин:

см

м

где n – это объём выборочной совокупности (по примеру n = 29)

;

;

,

Формула расчета коэффициента корреляции:

.

Например: .

Ошибка коэффициента корреляции:

.

Например: .

Значимость корреляции: .

Например: .

Число степеней свободы: .

Например: .

Для определения значимости коэффициента корреляции устанавливается стандартное значение t – критерий Стьюдента на 5 % уровне значимости.

t – критерий Стьюдента на 5 % уровне значимости (определяется по таблице учебника) исходя из числа степеней свободы

t ₀₅ = 2,045

t _r= 7,36 > t₀₅, значит корреляция значима.

Расчет вспомогательных величин для вычисления корреляционного отношения приведен в таблице 5.2.

Для расчёта вспомогательных величин необходимо произвести группировку данных по независимой переменной или разбить все данные на классы с равной величиной классового интервала.

В курсовой работе данные группируются в ступени толщины с величиной классового интервала 4 см. ступени толщины не пропускаются, при этом число деревьев в ступени должно быть не менее двух.

Таблица 5.2 Расчет вспомогательных величин для вычисления корреляционного отношения

Ступени толщины (ч/з 4 см)	Диаметр, xi, см	Высота yi, м	yусл.	Отклонения
α =yi - y	α^2	Δy = =yi-yусл.	Δy^2
	11,3 12,0 13,8	13,6 15,3 15,8	14,9	-6,53 -4,83 -4,33	42,64 23,32 18,75	-1,3 0,4 0,9	1,69 0,16 0,81
	14,9 14,7 14,7 15,7 14,8 16,2 17,3 16,5	18,1 19,5 15,3 18,1 17,6 17,5 18,6 19,5	18,03	-2,03 -0,63 -4,83 -2,03 -2,53 -2,63 -1,53 -0,63	4,12 0,40 23,33 4,12 6,4 6,92 2,34 0,40	0,07 1,47 -2,73 0,07 -0,43 -0,53 0,57 1,47	0,05 2,16 7,45 0,0003 0,18 0,28 0,32 2,16
и т.д	…	…	…	…	…	…	…
					∑ α^2 251,46		∑ Δ y^2 73,15

y_{условное}- средняя высота ступени толщины.

Например: .

Формула расчета корреляционного отношения

.

Например: .

Ошибка корреляционного отношения

.

Например: .

Значимость корреляционного отношения

.

Например: .

Число степеней свободы:

.

Например: .

t – критерий Стьюдента на 5 % уровне значимости (определяется по таблице учебника) исходя из числа степеней свободы

t ₀₅ = 2,045 (определяется по таблице учебника),

t _r= 7,36 > t₀₅, значит корреляция значима.

Мера линейности корреляции

.

Например: .

Основная ошибка

.

Например: .

По отношению меры линейности к основной ошибке судим о линейности связи.

Например: , связь приблизительно можно считать линейной.

Степень тесноты связи между изучаемыми признаками производится по величине корреляционного отношения с помощью таблицы 5.3.

Таблица 5.3 Таблица для определения тесноты связи

Степень тесноты связей	Величина корреляционного отношения
слабая	0-0,3
умеренная	0,31-0,5
значительная	0,51-0,7
высокая	0,71-0,9
очень высокая	0,91 и выше

Статистическое заключение

По результатам корреляционного анализа можно сделать вывод, что взаимосвязь между диаметром и высотой ствола по направлению – прямая, по тесноте – высокая, по форме – близка к линейной.

Дата добавления: 2015-06-04