Роль поворотного множителя при графическом изображении комплексных чисел

Показательная форма представления комплексных чисел

Для представления комплексных чиселв показательной форме используем формулу Эйлера

е = (cosα + j sinα) (9),

где: е = 2,73 – основание натуральных логарифмов;

cosα = Re е - действительная часть выражения е ;

sinα = Im е - мнимая часть выражения е .

В этом случае выражение (8) можно записать так:

А = |А| (cosα + j sinα) = |А| е (10).

Таким образом, для представления комплексного числа в показательной форме надо:

1. найти модуль вектора |A| по формуле (4);

2. найти аргумент вектора tg α по формуле (5);

3. найти угол α из соотношения α = arc tg α;

4. записать комплексное число в показательной форме.

Пример 4. Комплексное число А = 3 + j4 представить в показательной форме.

Решение:

1. модуль числа А

|A| = = = = 5

2. аргумент числа

tg α = А" / А' = 4 / 3 = 1, 33

3. угол α = arc tg α = arc 1,33 = 53º 03' ≈ 53º

4. комплексное число в показательной форме А = 5 е .

Выражение е называется поворотным множителем и обозначает, что

вектор, изображающий комплексное число |А| е , повернут относительно вещественной полуоси «х» на угол α против направления движения часовой стрелки. Отрицательному значению угла α соответствует поворот вектора по часовой стрелке.

Показатель степени «j α» в выражении е должен быть отвлеченным числом. Это означает, что угол «α» в выражении «j α» должен быть выражен в радианах. Однако ради большей наглядности допускается запись угла «α» в градусах.

При расчетах электрических цепей встречаются случаи вычислений с поворотным множителем, результаты которых полезно запомнить:

1. е = cos 0 + j sin0 = 1 + 0 = 1;

2. е = е = cos (π / 2) + j sin(π / 2) = 0 + j*1 = j;

3. е = е = cos (- π / 2) + j sin(- π / 2) = 0 - j*1 = -j;

4. е = е = (е ) = (j) = - 1.

Таким образом, в результате умножения комплексного числа на поворотный множитель е положение вектора, изображающего комплексное число, не изменя

ется, во втором случае направление вектора совпадает с направление полуоси «+j»

(т.е. вектор расположен вверх), в третьем случае вектор расположен вниз, в четвертом случае вектор в результате умножения поворачивается на 180º против часовой стрелке (при + 180º) или по часовой (при - 180º).

В последнем случае направление поворота не имеет значения, т.к. при повороте как против часовой, так и по часовой стрелке, вектор занимает положение, противо

положное исходному.

В конце объяснения представим одно и тоже число А в разных формах:

1. в алгебраической А = 3 + j4;

2. в графической – в виде вектора на рис.2;

3. в тригонометрической А = 5 (cos 53º + j sin53º);

4. в показательной А = 5 е .

Таким образом, из четырех форм записи комплексного числа А только две –

алгебраическая и тригонометрическая, строго соответствуют понятию «комплекс-

ное число», т.е. такое число, которое состоит из нескольких частей.

Следует отметить, что при расчетах электрических цепей символическим методом часто приходится переходить от одной формы представления комплекс-

ного числа к другой, например, от алгебраической к показательной. Для таких переходов применяют простейшие действия над числами, а именно: сложение, вычитание, умножение и деление.

Дата добавления: 2015-06-30