Умножение

Умножение и деление комплексных чисел

Сложение и вычитание комплексных чисел в графической форме

Каждое комплексное число может быть представлено вектором, поэтому сложению комплексов соответствует сложение векторов.

Действительная составляющая суммарного вектора равна алгебраической сумме действительных составляющих суммируемых векторов (рис.4), т.е.

С' = А' + В' (14)

Аналогично, мнимая составляющая суммарного вектора равна алгебраиче-

ской сумме мнимых составляющих суммируемых векторов (рис. 4), т.е.

С" = А" + В". (15)

Вычитание векторов, представляющих комплексные величины, можно заменить сложением уменьшаемого вектора с вычитаемым вектором, взятым с обратным знаком (рис. 5)

Рис. 4. Сложение векторов А и В Рис. 5. Вычитание вектора В из вектора А

Возможны2 случая умножения и деления комплексов:

1. комплексы заданы в показательной форме;

2. комплексы заданы в алгебраической форме.

2.1. Умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме

Перемножим два комплекса, заданных в алгебраической форме: А = А' + jА" и

В = В' + j В".

С = А*В = (А' + j А")*(В' + j В") = А'*В' + А'*j В" + jА"* В' + j А"*В" =

= (А'*В' - А"*В") + j (А'*В'' + А"* В') = С' + С" (18).

Пример. Найти произведение комплексов А = 2 + j 4 и В = 8 + j 6.

Решение. С = А*В = (2 + j 4)*(8 + j 6) = (2*8 – 4*6) + j (2*6 +4*8) =

(16 – 24) + (12 + 32) = - 8 + j44.

Деление

Особенностью деления двух комплексов является дополнительное умно-

жение делимого и делителя, т.е. числителя и знаменателя на сопряженный комп-

лекс. Как известно, умножение числителя и знаменателя на одно и то же число не изменяет дробь. Однако в данном случае в результате такого умножения в знаменателе образуется вещественное число, что резко упрощает дальнейший расчет.

Сопряженными называются два таких комплекса, мнимые части которых имеют противоположные знаки.

Пусть имеется комплекс А = А'+ j А", тогда сопряженный с этим числом комплекс Ậ = А' – j А".

Пусть надо разделить комплекс А на комплекс В:

С = А / В = (А'+ j А") / (В'+ j В").

Умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель

(В'- j В"):

С = (А'+ j А")*(В'- j В") / (В'+ j В")*(В'- j В") = (А'* В' - j А'* В"+ j А"* В' - j А"* *В") / (В' + В" ) = (А'* В' + А"* В") / (В' + В" ) + j*(А"* В' - А'* В") / (В' + В" ) = C' + C" (19).

Как видим, в знаменателях действительной и мнимой частей находится одно и то же действительное число (В' + В" ), что резко упрощает расчет.

Пример 15. Для комплекса А = 5 + j 8 найти сопряженный комплекс.

Решение. Сопряженный комплекс Ậ = 5 – j 8.

Пример 16. Найти произведение сопряженных комплексов, одним из которых является А = 5 + j 8.

Решение. Ĉ = А* Ậ = (5 + j 8)*(5 – j 8) = 5 + 8 = 25 + 64 = 89.

Пример 17. Найти частное от деления комплексов А = 6 + j20 и В = 3 + j4.

Решение. С = А / В = (6*3 + 20*4) / (3 + 4 ) + j*(20*3 – 6*4) / (3 + 4 ) =

= (18 + 80) / 25 + j*(60 – 24) / 25 = 3,92 + j 1,44.

Дата добавления: 2015-06-30