Решение. Примеры решения задач К 2.9, К 2.10

Примеры решения задач К 2.9, К 2.10

Задача К 2.9

Проверить прочность балки прямоугольного сечения, нагружен­ной силой, действующей в плоскости, составляющей угол a с осью Х. Для опасного сечения определить положение нейтральной линии и построить эпюру нормальных напряжений. Исходные данные: Р = 5 кН; l = 2,5 м; а = 0,6 l; a = 20; [s] = 160 МПа.

Изображаем заданную расчетную схему. Имеем типичный слу­чай косого изгиба. Строим эпюру М в плоскости действия силы Р (рис. 44).

Опасное сече­ние на опоре А. Здесь максимальный изги­бающий момент М = = 0,4 Рl. Расклады­ваем его на состав­ляющие, действую­щие в глав­ных плоскостях: М_х = =0,4 Рl sina, М_у = =0,4 Рl cosa. Опасной будет верхняя правая угловая точка. Условие прочности для нее:

; , ,

тогда

Прочность обеспечена, так как s = 12,18 МПа < [s] = 160 МПа.

Определяем положение нейтральной линии

; .

a = - 55,5°.

Проводим нейтральную линию и строим эпюру нормальных на­пряжений (рис. 45).

Задача К 2.10

Чугунный короткий стержень Т-образного сечения (рис. 46) сжимается продольной силой Р, приложенной в точке А. Опреде­лить допускаемую силу из условия прочности на сжатие и на растя­жение. Определить положение нейтральной линии, построить эпюру «s».

Исходные данные: [s_с] =130 МПа; [s_р] =30 МПа; а =6 см; b =4 см.

Решение

Это сечение произвольной формы. Чтобы решить за­дачу, необходимо знать положение главных центральных осей, коор­ди­наты точки А в главных цен­тральных осях, главные централь­ные моменты инерции. Вычерчи­ваем сечение в масштабе (рис. 47). Для упрощения вычислений все размеры указы­ваем в сантиметрах и вы­числения также производим в сантиметрах.

Сечение разделяем на две части. Проводим вспомога­тельные оси Х₀, У₀. Определяем координаты центров тяжести и площади составляю­щих частей и всего сечения. Так как ось Х₀ яв­ляется для них осью сим­мет­рии, то центры тяжести будут лежать на этой оси. Поэтому координаты у_с не определяем.

Часть 1: х₁ = 3 см, F₁ = 6´15 = 90 см².

Часть 2: х₂ = 6 + 12/2 = 12 см, F₂ = 12´4 = 48 см².

Сечение: F = F₁ + F₂ = 90 + 48 = 138 см² = 138×10^{- 4 м2}.

см.

Указываем положение центра тяжести на чертеже. Определяем коор­динаты точки приложения силы Р (точки А) относительно главных центральных осей.

х_р = 6 + 12 – х_с = 6 + 21 – 6,1 = 11,9 см,

у_р = 4/2 = 2 см.

Определяем N, М_х, М_у

N = - Р; М_х = Р × у_р = 2 Р Нсм = 2×10^{- 2} Р Нм;

М_у = Р × х_р = 11,9 Р Нсм = 11,9×10^{- 2} Р Нм.

Определяем главные центральные моменты

см⁴ =

= 1751×10^-8 м⁴;

,

где

см⁴; b₁ = x₁ – x_с = 3 – 6,1 = - 3,1 см;

см⁴; b₂ = x₂ – x_с = 3 – 6,1 = 5,9 см.

Тогда

I_у = 270 + (-3,1)²×90 + 576 + (-5,9)²×48 = 3382 см⁴ = 3382×10^-8 м⁴.

Для определения положения опасных точек найдем положения нейтральной линии. Находим отрезки а и b. Так как точка приложе­ния силы Р находится в первой четверти, то N, М_х, М_у в этой четверти будут давать сжимающие напряжения, поэтому N, М_х, М_у в формулы для определения отрезков а и b подставляем со знаком «минус».

м = -2,06 см.

м = - 6,34 см.

Откладываем с учетом знака отрезок а на оси Х_с, отрезок b на оси У_с (рис. 48). Через концы отрезков проводим нейтральную ли­нию. Проводим касатель­ные к сечению, параллель­ные нейтральной линии. Точки касания В и А будут опасными, точка В – по рас­тягиваю­щим напряже­ниям, точка А – по сжимаю­щим. Их координаты легко определяются из чертежа (координаты берем по аб­солютной вели­чине).

Точка В: Х_В = 6,1 см, У_В = 7,5 см.

Точка А: Х_А = 11,9 см, У_А = 2 см.

Определяем допус­каемое значение силы Р:

1. Из условия прочно­сти по растягивающим на­пряжениям (точка В).

Условие прочности

.

Подставляя выражения для N, М_х, М_у, получим

.

Отсюда

2. Из условия прочности по сжимающим напряжениям (точка А).

Условие прочности

.

Подставляя выражения для N, М_х, М_у, получим

В качестве ответа берем меньшее значение [ Р ] = 131,6 кН, получен­ное из усло­вия прочности по растягивающим напряжениям.

Строим эпюру «s»

Для этого вычисляем напряжения в точках А и В.

Точка А:

Точка В: s_В = [s_р] = 30 МПа, так как [ Р ] получена из условия проч­ности в этой точке.

Для получения эпюры «s» (рис. 48) проводим базовую линию, перпендикулярную нейтральной линии. В точках пересечения базо­вой линии с каса­тельными откладываем перпендикулярно базовой линии отрезки, со­ответствующие s_А и s_В в выбранном масштабе с учетом знаков. Концы отрезков соединяем прямой линией.

Учебное издание

ПОДЛЕСНОВ ЮРИЙ ПРОКОПЬЕВИЧ

НЕВМЕРЖИЦКАЯ ГАЛИНА ВЛАДИМИРОВНА

Сопротивление материалов

Часть 1

Редактор издательства О.З. Зрелова

Компьютерный набор С.М. Васейкина, Т.М. Давыдова

Иллюстрации С.М. Васейкина

Темплан 2012 г., п. 5

Подписано в печать 27.04.12. Формат 60´84 1/16. Бумага офсетная. Офсетная пе­чать. Усл. печ. л. 5,98 Уч.-изд.л. 5,98. Тираж 60 экз. Заказ

Издательство Брянского государственного технического университета

241035, Брянск, бульвар 50-летия Октября, 7, БГТУ. 55-90-49

Лаборатория оперативной полиграфии БГТУ, ул. Институтская, 16

Дата добавления: 2015-06-30