Пример 5

Пример 3.

Сколько целочисленных решений имеет уравнение

Решение:

После возведения в квадрат получим , тогда ( – целое) и

Таким образом, получаем 15 решений при = 0, …, 14.

Ответ: 15 решений.

Пример 4.

Найти целочисленные решения уравнения , удовлетворяющие неравенствам

Решение:

Воспользуемся методом, сходным с алгоритмом Евклида.

Имеем 179 = 113 + 66.

Перепишем наше уравнение в виде

Обозначим , . Как видим, у нового уравнения один из коэффициентов уменьшился. Можно вновь 113 разделить на 66 с остатком, а лучше так:

Получаем

Обозначим

Получаем уравнение

.

,

Наконец, получаем уравнение . Это уравнение имеет очевидное решение: , где – любое целое число.

Двинулись в обратный путь:

,

,

,

Таким образом, где – произвольное целое. Из условия найдем = 2, = 35, = -22

Ответ:

Решить в целых положительных числах уравнение

Решение:

Решая данное уравнение как квадратное относительно у, находим:

(1)

Мы видим, что число должно быть точным квадратом, т.е. = u

Так как х - натуральное число, то тоже натуральное, число u (как арифметическое значение корня) тоже натуральное, причем, очевидно,

Положим, , где – натуральное число.

Тогда получаем: (3х – 1) -288 = [(3x – 1) – k] или 2k(3x – 1) = k + 288

откуда видно, что - число четное.

Пусть ( также натуральное число).

Тогда находим:

или (2)

Отсюда ясно, что число должно быть целым, т.е. должно быть делителем числа 72. Возможные значения для

Из них надо взять лишь такие, для которых число + кратно трем (либо это число должно быть равно 3 ). Этому условию удовлетворяют лишь числа = 2, = 8, = 9, = 36.

Подставляя эти значения в (2), находим для два значения: 13 и 6. Из уравнения (1) найдем соответствующие (только натуральные!) значения . В результате мы получаем два решения исходной системы:

Ответ:

Дата добавления: 2015-07-02