Пример 1. Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах:

Пример 6.

Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах:

Решение:

Так как правая часть уравнения – нечетное число, то и левая часть должна быть нечетным числом. Поэтому или , или меньше 2.

Пусть для определенности , т.е.

Правая часть последнего равенства не делится на 5, а потому , но ни одно из целых чисел, которые удовлетворяют этому неравенству, не служат решением данного уравнения.

Итак, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

8. Учет остатков от деления на число.

При решении многих неопределенных уравнений полезно бывает пронаблюдать остатки чисел от деления на определенное число

Рассмотрим примеры, раскрывающие сущность этого метода.

Решить в целых числах уравнение:

Решение:

1) Заметим, что правая часть уравнения делится на 3 при любом целом .

2) Исследуем, какие остатки может иметь при делении на 3 левая часть этого уравнения.

При теореме о делении с остатком число либо делится на 3, либо при делении на 3 в остатке дает 1 или 2.

Если , то правая часть уравнения на 3 не делится.

Если , то следовательно, опять левая часть на 3 не делится.

Если то , следовательно, и в этом случае левая часть уравнения на 3 не делится.

Таким образом, мы получили, что ни при каких целых левая часть уравнения на 3 не делится, при том, что правая часть уравнения делится на 3 при любых значениях переменной . Следовательно, уравнение в целых числах решений не имеет.

Дата добавления: 2015-07-02