Пример 5. Решить систему уравнений в целых числах

Пример 4.

Пример 3.

Решить систему уравнений в целых числах

Решение:

Если , , и удовлетворяют уравнениям системы, то – нечетное число.

Так как квадрат четного числа есть четное число, то – число нечетное:

Используя это представление для числа , получим , т.е. - четное число, значит и четное: . Число x = y + 7z нечетное.

Поэтому нечетное: . Из первого уравнения системы теперь следует, что – 8k = 7(z ) = 7(2y + 1) = 7(4y + 4y + 1).

Отсюда , что для целых чисел невозможно.

Ответ: решений нет.

Решить в целых числах уравнение:

Решение:

Если и оба нечетны или одно из них нечетно, то левая часть уравнения есть нечетное число, а правая – четное. В этом случае решений нет.

Если же и , то 8 ,

т.е. 2(2 + 2 - 3 ) , что невозможно ни при каких целых и .

Ответ: решений нет.

Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах:

Доказательство:

Так как -четное число, а 7 – нечётное, то должно быть нечетным, т.е. - нечетное. Пусть тогда данное уравнение можно переписать в виде (*)

Отсюда видно, что должно быть четным. Пусть тогда равенство (*) примет вид: что невозможно, т.к. число - чётное, а разность двух чётных чисел не может быть равна нечетному числу. Таким образом, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Дата добавления: 2015-07-02