Пример 6. Решить уравнение в натуральных числах

Решить уравнение в натуральных числах

Решение:

Поскольку неизвестные входят в уравнение симметрично, то можно считать что .

Остальные решения получаются перестановками неизвестных.

Тогда

,

т.е. . очевидно, что . Пусть , т.е.

Также ясно, что у 2.

Если , то . Если , то .

Если , то даже , т.е. других решений при нет.

Пусть , т.е. .

Если , то . Если , то даже , т.е. других решений при нет.

Следовательно, данное уравнение без учета перестановок имеет три решения: (3, 3, 3), (2, 4, 4), (2, 3, 6)

Ответ: , , , , , , , , , .

III. Задания для самостоятельной работы (задания С6, ЕГЭ)

1. Найти все натуральные числа n, при которых сократима дробь

2. Найти все натуральные m и n, для которых выполняется уравнение

3. Решить в натуральных числах уравнение

4. Решить в натуральных числах уравнение

5. Решить в натуральных числах уравнение

6. Решить в целых числах уравнение

7. Решить в целых числах уравнение .

8. Корнем какого многочлена с целыми коэффициентами является число + ?

9. Решить в натуральных числах уравнение

10. Найти натуральные числа m и n, такие, что и делятся на

11. У натурального числа ровно 6 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 104. Найдите это число.

12. Доказать, что число является квадратом натурального числа.

13. Доказать, что делится на 37.

14. При каком натуральном и выполняется равенство -

15. Найдите минимальное шестизначное число, которое уменьшается в 3 раза при перенесении последней цифры, равной 1, на первое место.

16. Найдите пятизначное число, которое при умножении на 9 дает число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

17. Найдите дробь с наименьшим знаменателем, которая находится между числами а) и б) и

18. Найдите четырехзначное число , которое делится на произведение двух двузначных чисел , где – две первые цифры этого числа, а – две последние.

19. Найдите восьмизначное число , которое делится на произведение двух четырехзначных чисел , где – четыре первые цифры этого числа, а – четыре последние.

20. Найдите наименьшее трехзначное натуральное число, квадрат которого при делении на 5 дает остаток 4.

21. Найдите все пары двузначных чисел ( – простое, ), такие, что число , полученное приписыванием десятичной записи числа после десятичной записи числа , сложенное с числом , равняется полному квадрату.

22. Найдите натуральное число, которое увеличивается в 7 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить 0.

IV Ответы к заданиям для самостоятельной работы

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. 63

12.

13. –

14.

15.

16.

17. a) б)

18.

19.

20.

21.

22.

Литература:

- А.О. Гельфонд. Решение уравнений в целых числах. (1978)

- Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие. - - Вавилов В.В., Мельников И.И, Олехник С.Н., Пасиченко П.И.

- Н.В. Горбачев Сборник олимпиадных задач по математике. Москва, издательство МЦНМО, 2005

- И.Ф. Шарыгин. Решение задач. Москва, просвещение, 1994

- И. Кушнир. Шедевры школьной математики. Асмарта. Киев, 1995

- М.Б. Балк, Г.Д. Балк. Математика после уроков. Издательство «Просвещение», Москва, 1971

- Полный комплект пособий для подготовки к ЕГЭ «50 типовых экзаменационных работ» Математика под редакцией А.П.Власова, Н.В.Евсеева, АСТ «Астрель», Москва 2009г.

Дата добавления: 2015-07-02