Условие задачи №2

Для схемы рис.2-2, пользуясь законами Кирхгофа, найти токи и проверить баланс мощностей, если э.д.с. генераторов напряжения: E₁ = 15 B, E₂ = 70 B, E₃ = 5 B, их внутренние сопротивления: r₁₀ = r₂₀ = 1 ом, r₃₀ = 2 ом, сопротивления элементов в цепи: r₁ = 5 ом, r₂ = 4 ом, r₃ = 8 ом, r₄ = 2,5 ом, r₅ = 15 ом.

Решение задачи.

Всего в схеме пять ветвей (N_в = 5: bfa, adc, ba, bc, ca), число узлов N_у = 3(a, b, c), генераторов тока нет (N_т = 0), число неизвестных токов равно N_в – N_т = 5. Число независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов минус единица, т.е. двум (N_у – 1 = 3 – 1 = 2). Число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа равно трем (K = N_в – N_у + 1 – N_т = 5 – 3 + 1 – 0 = 3). Таким образом, общее число независимых уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов в пяти ветвях схемы.

Выберем положительные направления токов и обозначим их стрелками. Выберем и обозначим стрелками направление обхода трех независимых контуров: I, II, III. Составим систему уравнений Кирхгофа:

для узла а

(2-1)

для узла b

(2-2)

для контура I

(2-3)

для контура II

(2-4)

для контура III

(2-5)

Уравнения (2-1) – (2-5) после подстановки в них числовых значений будут иметь следующий вид:

Решим эту систему уравнений. Выразим ток I₁ из первого уравнения, а в 3-ем, 4-ом, 5-ом уравнении произведем сокращения на постоянные множители.

(2-6)

5 I ₂ + 15 I ₅ = 70; I ₂ + 3 I ₅ = 14.

Подставим значение тока I₁ в остальные уравнения.

Раскроем скобки и сложим подобные члены.

Осталось 4 уравнения с четырьмя неизвестными. Выразим из первого уравнения ток I₂ и подставим полученное значение в оставшиеся три уравнения.

(2-7)

Раскроем скобки и получим три уравнения с тремя неизвестными.

Выразим из последнего уравнения ток I₄ и подставим, в первые два уравнения, его значение.

(2-8)

Раскроем скобки и сложим подобные члены, в результате получим два уравнения с двумя неизвестными.

Из последнего уравнения выразим ток I₃ и подставим полученный результат в первое уравнение.

(2-9)

Полученный результат подставим в уравнение (2-9) и (2-8):

Далее зная значения этих токов находим оставшиеся два:

Отрицательный знак для тока I₄ означает, что истинное направление тока в сопротивлении r₄ противоположно принятому.

При проверке баланса мощностей надо иметь в виду, что в тех ветвях цепи, где истинное направление тока совпадает с направлением э.д.с., соответствующая э.д.с. является источником энергии, а в тех участках, где направления э.д.с. и тока противоположны, э.д.с. – потребитель энергии. Все сопротивления, как внешние, так и генераторов энергии, независимо от протекающего через них тока будут являться потребителями энергии.

Баланс мощностей для рассматриваемой схемы

или 15*5 + 70*8 – 5*1 = 5²*6 + 8²*5 + 1²*10 + 6²*2,5 + 2²*15;

получено тождество 630 = 630.

2.2 МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СХЕМЫ

Дата добавления: 2015-07-02