Вектор скорости точки

Векторный способ задания движения точки.

Векторный, 2) координатный, 3) естественный (или траекторный).

Способы задания движения точки

Для задания движения точки можно применять один из следующих трех способов:

Пусть точка движется по отношению к некоторой системе отсчета (рис.1.1). Положение этой точки в любой момент времени можно определить,

Рисунок 1.1

задав её радиус-вектор , проведенный из начала координат в точку . При движении точки вектор будет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргумента :

.

(1)

Это равенство и определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.

Геометрическое место концов вектора , т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.

Аналитически, как известно, вектор задается его проекциями на координатные оси. Для вектора будет:

и ,

где - координаты точки. Тогда, если ввести единичные векторы (орты) координатных осей, получим для вектора выражение

.

(2)

Следовательно, зависимость будет известна, если будут заданы координаты точки как функции времени. Такой способ задания движения точки (координатный) рассмотрим ниже.

2.Координатный способ задания движения точки.

Чтобы знать закон движения точки, т.е. её положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости

.

(3)

Эти уравнения и есть уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

Если движение происходит в одной и той же плоскости, то, приняв эту плоскость за плоскость Oxy, получим

(4)

При прямолинейном движении точки, если вдоль ее траектории направить координатную ось Ох, движение будет определяться одним уравнением

(5)

Это и есть закон прямолинейного движения.

3. Естественный способ задания движения точки.

Естественным (или траекторным) способом задания движения удобно пользоваться, когда траектория точки известна заранее. Пусть кривая является траекторией точки при её движении относительно координат (рис. 1.2). Выберем на этой траектории точку (неподвижную) О и примем её за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицательное направление отсчета. Положение точки на траектории будет однозначно определяться криволинейной координатой , которая равна расстоянию от точки О до точки , измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При перемещении точки расстояние S с течением времени будет изменяться.

Рисунок 1.2

Чтобы знать положение точки на траектории в любой момент времени надо знать зависимость

.

(6)

Это уравнение и выражает закон движения точки вдоль траектории.

Таким образом, чтобы задать движение точки естественным способом, надо задать: 1) траекторию точки; 2) начало отсчета на траектории с указанием знака (+ или –); 3) закон движения точки вдоль траектории в виде .

Одной из кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки.

Скорость точки - это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета.

Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени. Пусть движущаяся точка находится в момент времени в положении (рис. 1.3), определяемом радиус-вектором , а в момент приходит в положение , определяемое вектором . Тогда перемещение точки за промежуток времени определяется вектором , который будем называть вектором перемещения точки. Этот вектор направлен по хорде, если точка движется криволинейно (рис. 1.3,а), и вдоль самой траектории , когда движение является прямолинейным (рис. 1.3,б).

Рисунок 1.3

Из треугольника , видно, что , следовательно,

.

Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую средней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени :

.

(7)

Направлен вектор так же, как и вектор , т.е. при криволинейном движении вдоль хорды , в сторону движения точки, а при прямолинейном движении – вдоль самой траектории.

Очевидно, что чем меньше промежуток времени , тем величина будет точнее характеризовать движение точки.

Поэтому скоростью точки в данный момент времени называется векторная величина , к которой стремится скорость при стремлении промежутка времени к нулю.

.

Предел отношения при представляет собой первую производную от вектора по аргументу и обозначается , тогда

.

(8)

Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиус-вектора точки по времени. Так как предельным направлением секущей является касательная, то вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Размерность скорости , т.е. . Единицы измерения .

Дата добавления: 2015-06-27