Сложение вращений вокруг двух параллельных осей

Рассмотрим случай, когда относительное движение тела является вращением с угловой скоростью вокруг оси , укрепленной на кривошипе ba (рис. 6.1.а), а переносное – вращением кривошипа ba вокруг оси , параллельной оси , с угловой скоростью . Тогда движение тела будет плоскопараллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной осям. Здесь возможны три случая.

Рисунок 6.1

1. Вращения имеют одинаковые направления. Изобразим сечение S тела плоскостью, перпендикулярной осям (рис. 6.1,б), следы осей в сечении S обозначим буквами А и В. Точка А, как лежащая на оси , получает скорость только от вращения вокруг оси , следовательно, . Точно так же . При этом векторы и параллельны друг другу и направлены в разные стороны, Тогда точка С является мгновенным центром скоростей (), а, следовательно, ось , параллельная осям и , является мгновенной осью вращения тела.

Для определения угловой скорости абсолютного вращения тела вокруг оси и положения самой оси, т.е. точки С запишем

, откуда . Это видно из свойства пропорции. Подставляя в эти равенства , получим окончательно:

.

(80)

Таким образом, если тело участвует одновременно в двух направленных в одну сторону вращениях вокруг параллельных осей, то его результирующее движение будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью , вокруг мгновенной оси, параллельной данным. Положение этой оси определяется пропорциями

.

С течением времени мгновенная ось вращения меняет свое положение, описывая цилиндрическую поверхность.

2. Вращения направлены в разные стороны. Изобразим сечение S тела (рис. 6.2) и

Рисунок 6.2

Допустим для определенности, что ,тогда, используя рассуждения предыдущего случая, найдем, что скорости точек А и В будут численно равны: ; при этом и параллельны друг другу и направлены в одну сторону. Тогда мгновенная ось вращения проходит через точку С, причем

и .

Этот результат получается из свойства пропорции. Подставляя в эти равенства значения , найдем:

.

(81)

В этом случае результирующее движение также является мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг оси , положение которой определяется пропорциями

.

3. Вращения направлены в разные стороны (пара вращений) (рис. 6.3), но по модулю . Такая совокупность вращений называется парой вращений, а векторы и образуют пару угловых скоростей. В этом случае получаем, что . Тогда мгновенный центр скоростей находится в бесконечности и все точки тела в данный момент времени имеют одинаковые скорости .

Рисунок 6.3

Следовательно, результирующее движение тела будет поступательным (или мгновенно поступательным) движением со скоростью, численно равной и направленной перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы и . Направление вектора определяется так же, как в статике определялось направление момента пары сил. Тогда можно сказать: пара вращений эквивалентна поступательному (или мгновенно поступательному) движению со скоростью , равной моменту пары угловых скоростей этих вращений.

Примером такого движения является поступательное движение велосипедной педали относительно рамы велосипеда.

Дата добавления: 2015-06-27