Логическое следование на множестве формул алгебры высказываний

Структура умозаключения: посылки, следствие (заключение) и отношение логического следования между ними. Символическая модель умозаключения. Определение отношения подчиненности пары суждений. Непосредственное умозаключение и способы проверки его правильности в случае, когда посылки и заключение представляют собой простые суждения, и в случае, когда посылки или заключение являются сложными суждениями. Способы проверки правильности опосредованных умозаключений. Определение отношения логического следования на множестве формул, его структура (посылки, заключение и логическая связь между ними) и символическая модель. Проверка правильности логического следования с помощью определения посредством составления сводной таблицы истинности.

Критерий I правильности логического следования:

.

Критерий II правильности логического следования:

Способы построения следствий для заданных посылок и посылок для заданного следствия.

16.1. Выявить структуру умозаключений и построить их символические модели. Определить правильность умозаключений.

1) Некоторые мужчины являются учителями, значит, среди учителей есть мужчины.

2) Среди учителей немало женщин, значит, некоторые женщины работают в школе.

3) Для того, чтобы функция была непрерывна в данной точке, достаточно, чтобы она была дифференцируема в этой точке. Для того, чтобы функция была определена в данной точке, достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке. Значит, определенность функции в данной точке является необходимым условием ее непрерывности в этой точке.

4) Поскольку ни одна трапеция не является равносторонним многоугольником, то ни один равносторонний многоугольник не является трапецией.

5) Так как некоторые ромбы являются квадратами, то существуют квадраты, являющиеся ромбами.

6) Все веселые лошади не любят пить молоко. Следовательно, среди любителей пить молоко нет веселых лошадей.

7) Некоторые равносторонние многоугольники являются правильными, следовательно, все правильные многоугольники являются равносторонними.

8) У некоторых президентов государств голубые глаза, следовательно, все голубоглазые люди – президенты государств.

9) То, что ты не потерял, у тебя есть. Ты не терял рогов. Значит, у тебя есть рога.

10) Для принятия европейской конституции было необходимо и достаточно, чтобы за нее проголосовал каждый член Евросоюза. Франция и Нидерланды – члены Евросоюза. Франция и Нидерланды проголосовали против европейской конституции. Следовательно, европейская конституция не была принята.

11) Человек двуног и не имеет перьев, ощипанная курица двунога и не имеет перьев, следовательно, человек – это ощипанная курица.

12) Неблагополучное социальное положение широких слоев общества – необходимое условие революции в государстве. В государстве не происходит революции. Значит, социальное положение широких слоев общества является благополучным.

13) Если Мартовский Заяц встретит Соню, то он опоздает на встречу со Шляпочником. Мартовский Заяц пришел на встречу со Шляпочником вовремя, следовательно, он не встретил Соню.

14) Если Лжедмитрий I был истинным сыном Ивана Грозного, то им не был Лжедмитрий II. Если Лжедмитрий II был истинным сыном Ивана Грозного, то им не был Лжедмитрий I. Отсюда следует, что ни один из Лжедмитриев не был истинным сыном Ивана Грозного.

15) Если в смерти царевича Дмитрия был повинен Борис Годунов, то Лжедмитрий не был сыном Ивана Грозного. Если при расследовании смерти царевича Дмитрия Шуйский дал правдивые показания, то царевич Дмитрий зарезался сам. Неверно, что царевич Дмитрий зарезался сам, или Лжедмитрий был сыном Ивана Грозного. Таким образом, в смерти царевича Дмитрия не был повинен Борис Годунов или неверно, что при расследовании смерти царевича Дмитрия Шуйский дал правдивые показания.

16.2. Построить следствия из следующих простых высказываний, пользуясь преобразованиями высказываний и «логическим квадратом»:

1) Все польские короли были католиками.

2) Среди монахов есть рыцари.

3) Некоторые алгебраические операции не обладают свойством коммутативности.

4) Ни один вампир не является вегетарианцем.

5) Не все графы планарны.

16.3. Построить посылки для суждений, приведенных в упражнении 16.2.

16.4. Построить логические следствия из следующих сложных суждений, пользуясь свойствами логических операций:

1) Тетраэдр является правильным, причем площадь его боковой грани совпадает с площадью основания.

2) Проекция вершины тетраэдра совпадает с центром треугольника, служащего основанием тетраэдра, следовательно, тетраэдр не является правильным.

3) Данный граф является деревом либо множество его ребер пусто; из условия задачи следует, что множество ребер данного графа не пусто.

4) Либо данный граф является деревом, либо множество его ребер пусто; из условия задачи следует, что множество ребер данного графа пусто.

5) Если данный граф является деревом, то он будет связным; если данный граф является двудольным, то все его простые циклы четны; данный граф несвязен или не все его простые циклы четны.

16.5. Проверить правильность логического следования, пользуясь его определением и сводной таблицей истинности:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) .

16.6. Проверить правильность логического следования в примерах задачи 16.5., пользуясь критерием I правильности логического следования (формулировка критерия приведена в начале параграфа).

16.7. Проверить правильность логического следования в примерах задачи 16.5., пользуясь критерием II правильности логического следования (формулировка критерия приведена в начале параграфа).

16.8. Указать общее число всевозможных неэквивалентных логических следствий из заданных посылок. Построить не менее таких следствий и упростить их.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

16.9. Построить не менее различных совокупностей формул, являющихся посылками для следующих формул:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

16.10. Построить логические следствия из заданных посылок, содержащие только две явные переменные и :

1) ;

2) ;

3) .

16.11. Проверить правильность рассуждений:

1) Если четырехугольник ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали четырехугольника АВСД взаимно перпендикулярны. Следовательно, данный четырехугольник АВСД – ромб.

2) Для того, чтобы быть допущенным к экзаменам, необходимо получить зачет по логике. Я получу этот зачет, если научусь устанавливать непротиворечивость множества формул. Я этот способ не усвоил. Следовательно, я не буду допущен к экзамену.

3) Чиновник или в плохом настроении, или занят. Если чиновник в плохом настроении, то он раздражен. Чиновник не раздражен. Следовательно, чиновник занят.

4) Если Гаврила – поэт, то Гаврила – романтик. Гаврила – романтик. Следовательно, Гаврила – поэт.

5) В бюджете возникнет дефицит, если не повысят пошлины. Если в бюджете имеется дефицит, то государственные расходы на общественные нужды сократятся. Значит, Значит, если повысят пошлины, то государственные расходы на общественные нужды не сократятся.

6) Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Если Смит не был убийцей, то Джонс не встречал Смита этой ночью, и убийство имело место после полуночи, Если убийство имело место после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Следовательно, Смит был убийцей.

7) Если платежи за квартиру возрастут, то граждане перестанут платить за квартиры или перестанут есть. Если граждане не перестанут платить за квартиры, то в казну поступят дополнительные денежные средства. Если в казну поступят дополнительные денежные средства и граждане не перестанут есть, то граждане не перестанут платить за квартиры. Следовательно, граждане не перестанут платить за квартиры.

8) Если наступит мир, то возникнет депрессия, разве что страна проведет программу перевооружения либо осуществит грандиозную программу внутренних капиталовложений в области образования, охраны окружающей среды, борьбы с бедностью и т.п. Невозможно договориться о целях такой грандиозной программы внутренних капиталовложений. Значит, если наступит мир и не будет депрессии, то непременно будет осуществляться программа перевооружения.

16.16. Постройте все следствия из следующих посылок и выразите их в содержательной форме:

1) Если две последние цифры натурального числа образуют число, делящееся на , то это число делится на или на . Если число не делится на , то оно не делится на .

2) Если у четырехугольника две противоположные стороны равны и они же параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм. У данного четырехугольника две противоположные стороны равны или параллельны.

3) Чтобы наступило лето, достаточно, чтобы прошла весна. Не верно, что лето не наступило, а птицы прилетели.

16.17. Даны посылки: «Если данный четырехугольник – ромб, то его диагонали перпендикулярны»; «Если данный четырехугольник – квадрат, то его диагонали равны»; «Если диагонали данного четырехугольника не равны, то он не квадрат»; «Диагонали данного четырехугольника не перпендикулярны и равны».

Найдите следствие, состоящее из высказываний:

1) «Данный четырехугольник – ромб» и «Данный четырехугольник – квадрат»;

2) «Данный четырехугольник – ромб» и «Диагонали данного четырехугольника равны».

16.18. Для следствия «Розы не переносят заморозков» найти посылки, состоящие из высказываний:

«Розы – растения теплолюбивые», «Теплолюбивые растения не переносят заморозков».

16.19. Для следствия «Треугольник прямоугольный» найти посылки, связывающие высказывания:

«Треугольник остроугольный», «Треугольник прямоугольный», «Треугольник тупоугольный».

16.20. Для следствия «Чтобы четырехугольник был ромбом, достаточно, чтобы он был квадратом». Найти совокупности различных посылок, состоящих из высказываний:

«Четырехугольник – ромб», «Диагонали четырехугольника перпендикулярны», «Четырехугольник – квадрат».

16.21. Для следствия «Школьнику необходимо ложиться спать в 21 час» найти различные совокупности посылок, состоящих из высказываний:

«Этот ребенок школьник», «Этот ребенок рано встает», «Этот ребенок ложится спать в 21 час».

16.22. Троим мудрецамзавязывают глаза и говорят, что каждому из них на голову надели либо красный, либо зеленый колпак. Всего было два зеленых и три красных колпака. Затем глаза развязывают и просят выйти из комнаты знающего цвет колпака на своей голове. Все три колпака были красные. Через несколько минут третий мудрец, самый мудрый, вышел из комнаты. Как он установил цвет колпака?

16.23. В городе жили два чудака – Чук и Гек. Чук врал по понедельникам, вторникам и средам, Гек – по вторникам, четвергам и субботам. В остальные дни они говорили только правду. Однажды при встрече одному из них задали вопрос: «Как тебя зовут?»

– Чук, – ответил он.

– А какой сегодня день недели?

– Вчера было воскресенье.

Его приятель добавил: «А завтра будет пятница». У приятеля спросили: «Ты говоришь правду?»

– Я всегда говорю правду по средам, – ответил он.

Кто из них Чук, кто – Гек и в какой день недели состоялся этот разговор?

Дата добавления: 2015-06-27