Уравнение движения вязкой жидкости в форме Навье-Стокса

Вывод уравнения движения в форме Рейнольдса

Правила осреднения

Для осреднения уравнения воспользуемся статистическим методом и его свойствами осреднения. Пусть значение некоторой функции f в интервале D t равно , где - среднее значение функции, а пульсационная составляющая. Тогда, используя свойства осреднения, получим

; ; ; ;

; ; ; .

Первая строка получается из определения осредненной величины и возможности переставлять операции дифференцирования и интегрирования. Двумя черточками вверху обозначено повторное осреднение.

Для вывода уравнения Навье-Стокса воспользуемся уравнениями движения в проекциях на оси координат, выраженными через напряжения

, ,

(7.3)

и выражениями для касательных и нормальных напряжений (обобщенным законом Ньютона для сплошной вязкой среды)

, ,

(7.4)

, ,

(7.5)

Подставляя соответствующие выражения из (7.4) и (7.5) в проекцию выражения (7.3) на ось x и считая m=const, получаем

.

Собирая члены со вторыми производными v_x по координатам и с производными по х от div Ū, получаем

, (7.6)

где - оператор Лапласа.

Выполнив аналогичные преобразования с проекциями на оси y и z получаем

(7.7)

. (7.8)

В векторной форме уравнение Навье - Стокса принимает вид

. (7.9)

Для несжимаемой жидкости div Ū =0 и уравнение Навье - Стокса имеет вид

. (7.10)

Подчеркнем, что в уравнение Навье — Стокса входят истинные значения скоростей и давлений и их производные.

Дата добавления: 2015-06-28