Математическое выражение, дающее количественную оценку степени выполнения наложенных на способ уп­равления требований, называется, критерием качества управления

НИЯ

Характерной тенденцией в построении современных систем управления является стремление получать системы, которые яв­ляются наилучшими.

При этом задачи управления сводятся к нахождению наилучшего процесса из множества возможных процессов, т.е. относятся к классу задач оптимального управления.

В тех случаях, когда цель управления может быть достигнута несколькими различными способами, на спо­соб управления можно наложить добавочные требова­ния, степень выполнения которых может служить осно­ванием для предпочтения одного способа управления всем другим.

Во многих случаях реализация процесса управления требует затраты каких-либо ресурсов: затрат времени, расхода материалов, топлива, электроэнергии. Следова­тельно, при выборе способа управления следует говорить не только о том, достигается ли поставленная цель, но и том, какие ресурсы придется затратить для достиже­ния этой цели. В этом случае задача управления состо­ит в том, чтобы из множества решений, обеспечивающих достижение цели, выбрать одно, которое требует наи­меньшей затраты ресурсов.

В других случаях основанием для предпочтения од­ного способа управления другому могут служить иные требования, налагаемые на систему управления: стои­мость обслуживания, надежность, степень близости по­лучаемого состояния системы к требуемому, степень до­стоверности знаний и т. п.

Наиболее предпочтительным или оптималь­ным способом управления будет такой, при котором кри­терий качества управления достигает минимального (иногда максимального) значения.

Различные виды задач управления. Различные виды задач оптимального управления отличаются друг от друга способом и последовательностью выполнения этих операций.

Одношаговые задачи. В одношаговых задачах не рассматриваются методы реализации принятого решения, т. е. определяются не величина и характер управляющего воздействия, а непосредственно значение переменной состояния системы, которое обеспечивает наилучшее достижение цели управления. В одношаговых задачах критерий качества называют обычно целевой функцией или функцией выигрыша или функцией потерь. Методы решения одношаговой задачи называются методами математического программирования.

Математическое программирование представляет собой не аналитическую, а численную форму решения, т.е. дает не формулу, выражающую конечный результат, а указывает лишь вычислительную процедуру, которая приводит к решению задачи.

Поэтому методы математического программирования эффективны лишь при использовании ЭВМ.

Задача линейного программирования является простейшим случаем задачи математического программирования. Метод решения таких задач разработал советский математик Канторович, за что он получил Нобелевскую премию. Задача линейного программирования состоит в следующем:

Дана система т линейно независимых уравнений с nнеизвестными x₁, x_2,…….x _n,называемая системой ограничений задачи линейного программирования:

a₁₁x₁+…a_1nx _n=b₁

……………… (1)

a_m1x₁+…a_mnx _n=b_m

где, не уменьшая общности, можно считать b _I >=0, i=1…m.

Характерной особенностью данной задачи является то, что число уравнений меньше числа неизвестных, т.е. m<n. Требуется найти неотрицательные значения переменных (x_i>=0, i=1…n), которые удовлетворяют урав­нениям (1) и обращают в минимум (максимум) критерий оптимальности, который в данном случае называют целевой функцией.

q=c₁x₁ +….c _n x _n. (2)

З адачи линейного программирования можно решать в различных пакетах. Для этого не нужно знать математический метод их решения, но нужно уметь поставить задачу.

Задача 1. Кондитерский цех может производить три вида карамели: А, В, С. Затраты сырья, запасы сырья в цеху и прибыль от реализации каждого вида карамели приведены в таблице.

Вид сырья	Затраты сырья т/т	Запасы сырья т.
Сах. Песок	0,8	0,5	0,6
Патока	0,4	0,4	0,9
Фруктов. Сироп	-	0,1	0,1
Прибыль руб /т

Составить план производства карамели в цеху, при котором прибыль будет максимальной.

Это задача на нахождение оптимального решения. Опишем задачу математически.

Обозначим через Х₁ – количество производимой цехом карамели А, Х₂- количество производимой цехом карамели В,

Х₃- количество производимой цехом карамели С, F- прибыль от производства всех трех видов карамели.

Прибыль цеха от производства карамели всех трех видов будет описываться уравнением F=108*Х₁+112*Х₂+126*Х₃

И нам требуется найти максимум этой функции. Это - критерий оптимальности задачи (целевая функция). По-видимому, при производстве нельзя использовать сырья больше имеющихся в цехе запасов, т.е.

0,8*Х₁+0,5*Х₂+0,6*Х₃<=800

0,4*X₁+0,4*X₂+0,3*X₃<=600

0,1*X₂+0,1*X₃<=120

Кроме того, количество произведенных конфет не может быть отрицательным (это значило бы, что цех не производит, а покупает конфеты). Поэтому,

Х₁>=0,

X₂>=0,

X₃>=0.

Теперь мы имеем полное математическое описание задачи. Так как все уравнения и неравенства в этой задаче линейны, мы имеем задачу ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.

Дата добавления: 2015-06-27