КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
В полярной системе координат 2 страница
2.5. Смешанное произведение векторов:
Определение: смешенным произведением трех ненулевых векторов называется произведение, в котором два первых вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Обозначение: или .
1) - число 2) Геометрический смысл: - объем параллелепипеда, построенного на векторах, как на ребрах (с “+”, если тройка правая, с “-“, если тройка левая).
- объем параллелепипеда.
, где , . Свойства: 1)
2) При круговой перестановке смешанное произведение не изменяется:
Приложения: - -компланарны - если , то тройка правая;если , то тройка левая; - -объем параллелепипеда, -объем пирамиды. РАЗДЕЛ III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3.1. Задачи на точку: 1) Если , то середина отрезка - ; 2) -деление отрезка в заданном отношении .
3) Если , то - расстояние между точками и .
3.2. Прямоугольная и полярная системы координат: Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными осями: - ось абсцисс и - ось ординат. - начало координат. - прямоугольные координаты точки, где - абсцисса, - ордината.
Полярная система координат задается лучом - поляной осью и полюсом - точкой . - полярные координаты, где - полярный радиус, - полярный угол. , .
3.3. Связь прямоугольной и полярной систем координат:
Прямоугольные координаты через полярные: .
Полярные координаты через прямоугольные:
, где
3.4.Виды уравнений прямой на плоскости:
1) - нормальное уравнение прямой ( - перпендикуляр, опущенный из начала координат на прямую)
2) - общее уравнение прямой, где - нормальный вектор прямой. С помощью нормирующего множителя сводят общее уравнение к нормальному.
3) - уравнение с угловым коэффициентом (b-ордината точки пересечения прямой с oy, - угловой коэффициент прямой)
4) - уравнение пучка прямых ();
5) - уравнение прямой, проходящей через 2 точки с коoрдинатами ;
6) - уравнение прямой в отрезках на осях ;
3.5. Задачи на прямую на плоскости:
1) - угол между прямыми и . 2) Условие параллельности прямых: - для прямых и , - для прямых и . 3) Условие перпендикулярности прямых: - для прямых и , - для прямых и . 4) - расстояние от до прямой . 5) Координаты точки пересечения прямых и :
3.6. Уравнения окружности: - общее уравнение кривой второго порядка. Определение: окружностью называется ГМТ (геометрическое место точек) плоскости, равноудаленных от одной и той же точки, называемой центром, на одно и то же расстояние, называемое радиусом. - уравнение окружности с центром в точке и радиусом R.
- каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом ;
- общее уравнение окружности, т.к. коэффициенты при квадратах переменных равны и нет слагаемого, содержащего произведение переменных.
3.7. Эллипс: Определение: эллипсом называется геометрическое место точек (ГМТ) плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная . Каноническое уравнение эллипса -
- большая полуось, - меньшая полуось, - меньшая полуось, - большая полуось, - полуфокусное расстояние - полуфокусное расстояние.
3.8. Парабола: Определение: параболой называется ГМТ плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
-каноническое уравнение параболы, ветви вдоль OX, - вершина; – расстояние между F и директрисой, характеризует ширину раствора ее ветвей,
- ветви вдоль OX, - вершина
- ветви вдоль OY, - вершина
- ветви вдоль OX, - вершина
- ветви вдоль OY, - вершина
3.9. Гипербола: Определение: гиперболой называется ГМТ плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная .
- действительная полуось - мнимая полуось - мнимая полуось - действительная полуось - полуфокусное расстояние - полуфокусное расстояние
- формула связи - формула связи
- директрисы - директрисы - фокусы
- асимптоты
3.10. Плоскость в пространстве:
1) - общее уравнение плоскости с нормальным вектором плоскости
2) - уравнение плоскости проходящей через и имеющей нормальный вектор .
3) - уравнение плоскости, проходящей через точки ; ; .
4) - уравнение плоскости в отрезках, где - отрезки, отсекаемых плоскостью на осях соответственно.
3. 11. Задачи на плоскость в пространстве: Если с нормальным вектором с нормальным вектором , то 1) - угол между плоскостями; 2) ║ ║ и ; 3) ;
4) Если , то расстояние от до плоскости определяется формулой: .
3.12. Прямая в пространстве: 1) -канонические уравнения прямой, проходящей через с направляющим вектором (лежащим на прямой или параллельным ей); 2) - параметрические уравнения прямой;
3) - уравнения прямой, проходящей через точки и ;
4) - общие уравнения прямой (линия пересечения двух не параллельных плоскостей)
Направляющий вектор этой прямой: . Если подставить (или или ) и решить получившуюся систему, то получим одну из точек прямой.
3.13. Задачи на прямую в пространстве: Если - направляющий вектор прямой , - направляющий вектор прямой , то 1) - угол между и ; 2) ║ ║ и ; 3) .
3.14. Задачи на прямую и плоскость в пространстве:
Если с нормальным вектором : - с направляющим вектором , то 1) - угол между прямой и плоскостью ( -величина наименьшего угла между прямой и ее проекцией на плоскость ) 2) ║ и 3) ║ и
4) Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости: необходимо задать прямую параметрически, подставить в общее уравнение плоскости, решить получившееся уравнение относительно и подставим в параметрические уравнения прямой.
3.15. Цилиндрические поверхности:
Определение: цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная движением некоторой прямой, называемой образующей, если образующая перемещается в пространстве параллельно самой себе и пересекает при этом некоторую неподвижную линию, называемую направляющей (например, ).
Если в координатном пространстве уравнение не содержит одной переменной, то оно определяет цилиндрическую поверхность, образующая которой параллельна оси отсутствующей переменной, а направляющая лежит в плоскости присутствующих переменных и задается в этой плоскости тем же уравнением, что и сама цилиндрическая поверхность. Например:
- круговой цилиндр.
- круговой цилиндр
- параболический цилиндр
- гиперболический цилиндр
РАЗДЕЛ IV. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1. - однополостный гиперболоид (если
Дата добавления: 2015-06-28; Просмотров: 554; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |