В полярной системе координат 3 страница

- однополостный гиперболоид вращения)

2. - двуполостный гиперболоид (если - двуполостный гиперболоид вращения)

3. - эллиптический параболоид (если

- параболоид вращения)

4. - трехосный эллипсоид

(если - сфера)

5. - конус второго порядка

6. - гиперболический параболоид

РАЗДЕЛ V. ГРАФИКИ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

1. - прямая

2. - парабола

3. - кубическая парабола

4. - гипербола

5.

6.

7. - показательная функция

8. - степенная функция 9.

10. Логарифмические

функции:

-

11. Тригонометрические функции:

РАЗДЕЛ VI. УРАВНЕНИЯ И ГРАФИКИ КРИВЫХ

1. Окружности:

2. Кардиоиды:

3. Розы: ; .

При четном - число лепестков удваивается, при нечетном - число лепестков совпадает с .

4. Лемниската Бернулли:

5. Спирали:

- спираль Архимеда - логарифмическая спираль

РАЗДЕЛ VII. КРИВЫЕ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

1. Окружность:

, где .

2. Эллипс:

, где .

3. Астроида:

, где .

4. Циклоида:

,

для первой арки .

РАЗДЕЛ VIII. НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ

8.1. Определение пределов:

Определение 1: число называется пределом функции в точке , если для любого положительного найдется такое положительное , что для всех , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

Символически:

и

Геометрический смысл: если для - окрестности т. найдется - окрестность , что для всех из этой - окрестности соответствующие значения функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми .

Суть понятия предела: при

Определение 2: число называется пределом функции при , если для любого существует , что при всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство

.

Обозначение: .

Геометрический смысл: если существует , то для всякого сколь угодно малого наперед заданного числа найдется такое свое число , , что, как только становится , соответствующие значения функции попадают в полосу числа .

Суть понятия: при

8.2. БМФ и ББФ, непрерывность функции:

Определение: функция называется бесконечно малой (бмф), если ().

Теорема: Сумма конечного числа бесконечно малых функции в т. есть функция бесконечно малая.

Теорема: Произведение бмф на ограниченную (она ограничена в сколь угодно малой окрестности точки) есть функция бесконечно малая.

Следствия:

1) Произведение постоянной на бмф есть бмф;

2) Произведение двух бмф есть бмф;

3) Частное от деления бмф на функцию, имеющую предел, отличный от нуля, есть бмф.

Аналогично, если:

Если , то - бесконечно большая функция (ббф).

Свойства ббф:

1) Произведение ббф на функцию, имеющую предел, отличный от нуля, есть ббф;

2) Произведение двух ббф есть ббф;

3) Сумма и частное двух ббф есть ббф не всегда.

Теорема: Если - ббф в т. , то - бмф в т. .

Теорема: Если - бмф в т. , то - ббф в т. .

Теоремы о пределах:

Теорема 1: Если две функции имеют предел, то их сумма также имеет предел, равный сумме пределов этих функций

Теорема 2: Если две функции имеют предел, то их произведение также имеет предел, равный произведению пределов этих функций

Теорема 3: Если две функции имеют предел, то их частное имеет предел, равный частному пределов этих функций, при условии, что предел делителя отличен от нуля.

Следствия:

1) Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

2) Теоремы 1 и 2 остаются справедливыми и в случае любого конечного числа функции, имеющих предел.

Определение 1:

Функция называется непрерывной в точке , если .

Определение 2:

Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Из определений непрерывных функций следует:

1. и , где , а .

Каждая из основных элементарных функций непрерывна в своей области определения.

8.3. Алгоритм нахождения пределов:

1. Если функция непрерывна в окрестности точки , то , т.е. для нахождения предела нужно вычислить значение этой функции в точке .

2. Если - многочлен - ой степени, то:

,

.

3. Если - многочлен - ой степени, - многочлен - степени, то

4. Если - дробь, содержащая иррациональность, то

8.4. Замечательные пределы:

1) Теорема:

Предел отношения синуса к его аргументу равен 1, если аргумент стремится к нулю, т.е. (первый замечательный предел).

2) - второй замечательный предел.

Следствие: и .

8.5. Нахождение пределов с использованием бесконечно малых функций (бмф):

Пусть - бмф.

Сравнить две бмф, значит найти предел их отношения, т.е. .

Определение: если , то и называются бмф одного порядка малости.

Определение: если , то называют более высокого порядка малости, чем .

Символически: .

Определение: если , то называют более низкого порядка малости по отношению к .

Определение: если не существует, ни конечный, ни бесконечный, то и называют несравнимыми бмф.

Определение: если , то и называются эквивалентными.

Символически: ~

Таблица эквивалентных бмф при :

1) ~ 5) ~ 7) ~

2) ~ ~ 8) ~

3) ~ 6) ~

4) ~ ~

Дата добавления: 2015-06-28